بی‌نهایت مطلق

بی‌نهایت مطلق در ریاضیات به اعدادی به‌شکل ${\displaystyle {\frac {K}{0}}}$ به‌طوری که ${\displaystyle k\neq 0}$ باشد می‌گویند. آن را با نماد ${\displaystyle \infty }$ نمایش می‌دهند.

مثلاً: ${\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty }$

اعمال ریاضی بر روی بی‌نهایت مطلق

${\displaystyle {\infty }+{\infty }={\frac {0}{0}}}$

${\displaystyle {\infty }-{\infty }={\frac {0}{0}}}$

${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}={\frac {0}{0}}}$

${\displaystyle {\infty }.{\infty }={\infty }}$

${\displaystyle {\infty }.K={\infty }}$

${\displaystyle {\infty }+K={\infty }}$

${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}=0}$

شکل‌های دیگر بی‌نهایت مطلق

${\displaystyle log(0)={\infty }}$

${\displaystyle 0^{-1}={\infty }}$

${\displaystyle (-1)!={\infty }}$

${\displaystyle tan({\frac {\pi }{2}})={\infty }}$

بی‌نهایت مطلق و تناقض‌های ریاضی

لئونارد اویلر، ریاضی‌دان سوئیسی در قرن ۱۸ نوشت:

${\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.}$

اثبات اویلر به‌شکل زیر بود:

${\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}}$

اگر تساوی بالا درست باشد، آنگاه:

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}}$

همان‌طور که می‌بینید، دنبالهٔ بالا فقط اعداد ۰ و ۱ را تولید می‌کند؛ پس چطور ممکن است که به عدد ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ همگرا باشد؟

تساوی بالا نوعی پارادوکس است؛ زیرا دنبالهٔ بالا واگراست.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Real projective line». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.