Koordenatu esferiko

Koordenatu esferikoen sistema koordenatu polarren ideia berean oinarritzen da eta puntu baten posizio espaziala distantzia eta bi angelu erabiliz zehazteko erabiltzen da. Ondorioz, P puntu bat hiru magnitudeen multzo baten bidez adierazten da: ${\displaystyle r}$ erradioa, ${\displaystyle \theta }$ angelu polarra edo kolatitudea eta ${\displaystyle \varphi }$ azimutula.

Koordenatu esferikoen elementuak

Autore batzuek kolatitudearen ordez latitudea erabiltzen dute, eta kasu horretan bere marjina -90°-tik 90°-ra bitartekoa da (-π/2-tik π/2-ra radian), zeroa XY planoa izanik. Azimutalaren neurria ere alda daiteke, angelua erlojuaren orratzen noranzkoan edo erlojuaren aurkako noranzkoan neurtzen den arabera, eta 0°-tik 360°-ra (0-tik 2π-ra radianetan) edo -180°-tik +180°-ra (-π-tik π-ra).

Egile batek zein konbentzio erabiltzen duen jakin beharko zenuke.

Erabilitako hitzarmenak

Nazioarteko hitzarmena

Estatubatuar ez diren fisikari, ingeniari eta matematikari gehienek idazten dute:

• ${\displaystyle \varphi }$, azimutala : 0°-tik 360°-ra
• ${\displaystyle \theta }$, kolatitudea : 0°-tik 180°-ra

Hau da artikulu honetan jarraitzen dugun konbentzioa. Nazioarteko sisteman, hiru koordenatuen aldakuntza-eremuak hauek dira:

${\displaystyle 0\leq r<\infty \qquad 0\leq \theta \leq \pi \qquad 0\leq \varphi <2\pi }$

Koordenatu erradiala beti da positiboa. ${\displaystyle r}$-ren balioa murriztuz 0 baliora iristen bada, hortik aurrera, ${\displaystyle r}$; berriro handitzen da, baina ${\displaystyle \theta }$ balio du π- ${\displaystyle \theta }$ eta ${\displaystyle \varphi }$ π radianetan handitzen edo gutxitzen da.

AEBetako hitzarmena

Gaur egun, AEBetan erabiltzen den konbentzioa ez da europarraren bera. Angelu azimutala adierazteko ${\displaystyle \theta }$ erabiltzen da, eta polarra, latitudea edo kolatitudea adierazteko ${\displaystyle \varphi }$ erabiltzen da.

Beste koordenatu-sistema batzuekiko erlazioa

Koordenatu kartesiarrekiko erlazioa

Multzo irekiei buruz:

${\displaystyle U=\{(r,\theta ,\varphi )|r>0,0<\theta <\pi ,0\leq \varphi <2\pi \}\qquad {\mbox{eta}}\qquad V=\{(x,y,z)|x^{2}+y^{2}+z^{2}>0\}}$

Koordenatu kartesiar eta esferikoen arteko ${\displaystyle F:V\to U}$ korrespondentzia unibokoa dago erlazio hauek definitutakoak:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\qquad \theta ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)&z>0\\{\frac {\pi }{2}}&z=0\\\pi +\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)&z<0\end{cases}}\qquad \varphi ={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x>0{\mbox{ y }}y>0{\mbox{ (1° Q)}}\\2\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x>0{\mbox{ y }}y<0{\mbox{ (4° Q)}}\\{\frac {\pi }{2}}{\mbox{sgn}}(y)&x=0\\\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&x<0{\mbox{ (2° y 3° Q)}}\end{cases}}}$

Erlazio horiek bereziak egiten dira ${\displaystyle z\,}$ardatz berera hedatzen saiatzen direnean, non ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$, zeinetan φ, ez dagoen definituta. Gainera, φ ez da inongo ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ puntutan jarraitua ${\displaystyle x=0\;}$ bada.

Alderantzizko funtzioa ${\displaystyle F^{-1}}$ ireki berdinen arteko alderantzizko erlazioen arabera idatz daiteke:

${\displaystyle x=r\sin \,\theta \,\cos \varphi \qquad y=r\sin \,\theta \sin \,\varphi \qquad z=r\,\cos \theta }$

Bere jacobtarra izanik: ${\displaystyle \left\vert J\right\vert =r^{2}\sin \theta }$

Koordenatu esferikoak eta erlazionatutako ardatz kartesiarrak

Koordenatu zilindrikoekiko erlazioa

Koordenatu kartesiar eta esferikoen arteko tarteko sistema gisa, koordenatu zilindrikoena dago, erlazio hauen bidez koordenatu esferikoekin erlazionatuta dagoena:

${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\qquad \theta =\arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)\qquad \varphi =\varphi }$

eta haien alderantzizkoak

${\displaystyle \rho =r\,{\sin }\,\theta \qquad \varphi =\varphi \qquad z=r\,\cos \theta }$

Kanpo estekak

• Datuak: Q203218
• Multimedia: Spherical coordinates / Q203218