Fraktal

Fraktal bat bere oinarrizko egitura, zatikatua edo ez erregularra eskala ezberdinetan errepikatzen den objektu erdigeometriko bat da^[1]. Izena Benoît Mandelbrotek proposatu zuen 1975ean eta latinezko fractus hitzetik dator, hautsia edo pitzatua esan nahi duena. Egitura natural asko fraktal erakoak dira.^[2]

Naturan ere agertzen da geometria fraktala, romanesko honetan bezala.

Benetako objektu fraktal baten propietate matematikoaren gakoa da bere dimentsio metriko fraktala bere dimentsio topologikoa baino zenbaki arrazionalagoa dela.

Fraktal terminoa berria den arren, gaur egun fraktalak deitzen diren objektuak matematikan ezagunak ziren XX. mendearen hasieratik. Neurriaren teoriaren esparruan, XX. mendearen hasieran ezarri ziren gaur egun dimentsio fraktala deitzen duguna zehazteko modurik ohikoenak.

Objektu geometriko fraktal bati ematen zaizkion ezaugarriak honako hauek dira:

• Ez erregularregia da geometria tradizionalaren arabera deskribatua izateko.
• Edozein behaketa eskalan du xehetasuna.
• Autoantzekoa da (zehazki, gutxi gora-behera edo estatistikoki)
• Bere Hausdorff-Besikobitxen dimentsioa bere dimentsio topologikoa baino handiagoa da.
• Algoritmo errekurtsibo sinple baten bidez definitzen da.

Ez da nahikoa ezaugarri hauetako bakar bat fraktal bat definitzeko. Adibidez, benetako lerro zuzena ez da fraktaltzat hartzen, objektu autoantzekoa den arren, gainontzeko ezaugarriak ez baititu.

Fraktal natural bat geometria fraktalaren bidez deskriba daitekeen naturako elementu bat da. Hodeiak, mendiak, zirkulazio-aparatua kostaldeak edo elur malutak fraktal naturalak dira. Irudikapen hau gutxi gora-beherakoa da, objektu fraktal idealei ematen zaizkien ezaugarriek, xehetasun mugagabea kasu, mundu naturalean mugak baitituzte.

Sarrera

Fraktalaren definizioak 1970eko hamarkadan zenbait ereduri batasuna eman zien, horietako batzuk mende bat lehenagokoak zirenak.

Adibide klasikoak

Fraktalen lehen ereduak aurkitzeko XIX. mendearen amaiera aldera joan beharra dago: 1872an Weierstrassen funtzioa agertu zen, honen grafoa gaur egun fraktaltzat hartzen dena, etengabekoa baina puntu bakar batean ere ezberdin ezin zitekeen funtzio bezala.

Kochen kurbaren eraikuntzaren pausoak.

Beranduago, antzeko propietateak baina definizio geometrikoago bat zuten ereduak agertu ziren. Eredu horiek hasierako irudi batetik (hazia) hasita eraiki zitezkeen, zeini eraikuntza geometriko sinpleak aplikatzen zitzaizkion. Lortutako irudien saila gaur egun talde fraktal deitzen denarekin bat zetorren mugako irudi batetik gertu zegoen. Honela, 1904an, Helge von Kochek Weierstrassenaren antzeko propietateak zituen kurba bat definitu zuen: Kochen elur maluta. 1915ean Waclaw Sierpinskik bere hirukia sortu zuen, eta urte bete geroago, bere tapiza.

Sierpinskiren tapizaren eraikuntza:
1. pausoa (hazia)	2. pausoa	3. pausoa	4. pausoa	5. pausoa

Talde hauek analisi klasikoaren mugak erakusten zituzten, baina objektu artifizial bezala ikusten ziren, "munstroen galeria" bat, Henri Poincarék deitu zituen bezala. Matematikari gutxik ikusi zuten objektu hauek eurez ikertzeko beharra.

1919an talde hauen deskribapen eta neurketan oinarrizkoa zen tresna bat agertu zen: Hausdorff-Besikobitxen dimentsioa.

Juliaren taldeak

Talde hauek, Pierre Fatou eta Gaston Juliak 1920ko hamarkadan eginiko lanen emaitza direnak, ${\displaystyle z\mapsto f(z)\mapsto f(f(z))\mapsto \ldots }$ funtzio holomorfoen etengabeko aplikazioen ondorio bezala agertzen dira.

Bat baino handiago den mailako funtzio polinomikoen kasu berezia azter dezagun. Zenbait aldiz jarraian funtzio polinomiko bat aplikatzean litekeena da emaitzak ${\displaystyle \infty }$rantz jotzea. Operazio honen bidez infinituari ihes egiten ez dioten ${\displaystyle z\in C}$en balioen multzoari Juliaren multzo betea deritzo, eta bere mugari, soilik Julia multzoa.

Multzo hauek ihes denborazko algoritmo baten bidez irudikatzen dira, non pixel bakoitza ihes egiteko behar dituen iterazioen arabera koloreztatzen den. Kolore berezi bat erabiltzen ohi da, sarri beltza, iterazio kopuru handi eta aurrefinkatutako baten ondoren ihes egin ez duten puntuak irudikatzeko.

Julia multzoen adibideak ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$rentzat

• 
  Beltzez, f_c, c=1ri-φ lotutako Julia multzoa, non φ urrezko zenbakia den
• 
  f_c, c=(φ−2)+(φ−1)i =-0.4+0.6ri lotutako Julia multzo betea
• 
  f_c, c=-0.835-0.2321iri lotutako Julia multzo betea

Beltzez, Mandelbrot multzoaren irudia Julia multzo beteekin gainjarria eta bere puntuetako batzuekin irudikatua (gorriz Julia multzo konektatuak eta urdinez konektatu gabeak).

Fraktal familiak

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ formaren funtzio errepikapenera lotutako ${\displaystyle \{f_{c}\}}$ Julia multzoen familiak barietate harrigarriko multzoak ditu.

Familia honek garrantzi berezia izango zuen, 1980ko hamarkadan ezagun egin zen fraktal mapa batean parametrizatua geratzean, Mandelbrot multzoa deitu zena. M multzo honek mapa bat irudikatzen du, non, pixel bakoitza, ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ parametroaren balio bati dagokiona, ${\displaystyle f_{c}}$ri lotutako Julia multzoaren oinarrizko propietate bat irudikatzeko moduan koloreztatzen den. Zehazki ${\displaystyle c\in M}$ ${\displaystyle f_{c}}$ loturiko Julia multzoa multzo konektatu bat baldin bada.

Fraktal baten ezaugarriak

Benoit Mandelbroten arabera, objektu bat autoantzekoa da bere zatiek osotasunaren forma edo egitura berbera baldin badute, eskala ezberdinean agertu edo arinki deformatuak egon daitezkeen arren.

Fraktalek hiru autoantzekotasun mota izan ditzakete:

• Autoantzekotasun zehatza: Autoantzekotasun moten artean muga gehien jartzen dituena da: fraktala eskala ezberdinetan berdina izatea eskatzen du. Sarri iteratutako funtzioen sistemen bidez definitutako fraktaletan topa dezakegu.

Gutxi gora-beherako autoantzekotasuna Mandelbrot multzoan: eskala aldatzerakoan multzoaren kopiak lortzen ditugu diferentzia txikiekin.

• Gutxi gora-beherako autoantzekotasuna: fraktala eskala ezberdinetan gutxi gora-behera berdina izatea eskatzen du. Mota hauetako fraktalek euren buruaren kopia txiki eta deformatuak dituzte. Matematikoki D. Sullivanek gutxi gora-beherako multzo autoantzekoa gutxi gora-beherako isometriaren bidez definitu zuen. Errepikakortasunezko harremanen bidez definitutako fraktalak ohi mota honetakoak dira.

• Autoantzekotasun estatistikoa: Autoantzekotasun motarik ahulena da. Fraktalak eskalaren aldaketarekin mantentzen diren neurri numeriko edo estatistikoak izatea eskatzen du. Fraktal aleatorioak mota honetakoak dira.

Erreferentziak

1. Portillo, Germán; Portillo, Germán. (2022-03-17). «Fraktalak: zer diren, ezaugarriak, garrantzia eta zientzia» Meteorología en Red (Noiz kontsultatua: 2022-11-02).
2. Maite. (2010-05-14). «Zientziak ikasten: Fraktalak eta Mandelbrot matematikaria» Zientziak ikasten (Noiz kontsultatua: 2022-11-02).

Ikus, gainera

• Errekurtsio
• Kaosaren teoria
• Dimentsio

Kanpo estekak

• Datuak: Q81392
• Multimedia: Fractals / Q81392