Taylori rida

Taylori rida on matemaatikas funktsiooni esitus astmereana, mille kordajateks on funktsiooni tuletised ühe etteantud argumendi väärtuse a juures.

Juhul, kui a = 0, nimetatakse seda rida ka Maclaurini reaks.

Definitsioon

Lõpmatult diferentseeruva reaalmuutuja või kompleksmuutuja funktsiooni ƒ(x) Taylori rida punkti a ümbruses on astmerida^[1]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,}$

kus n! on faktoriaal, ƒ ⁽ⁿ⁾(a) tähistab n-ndat järku tuletist punktis a. 0-järku tuletis on funktsioon ise ja 0! = 1.

Juhul, kui a = 0, nimetatakse seda rida Maclaurini reaks.

Analüütilised funktsioonid

Analüütilised funktsioonid ühtivad alati oma Taylori reaga, kuid üldjuhul ei pruugi funktsioon võrduda oma Taylori reaga ka piirkonnas, kus selle Taylori rida koondub.

Näiteks funktsioon e^−1/x² pole analüütiline punktis x = 0. Selle Taylori rida punkti x = 0 ümbruses on 0 iga x väärtuse korral, kuid e^−1/x² seda pole.

Vaata ka

• Laurent'i rida