Hüdrostaatika

Hüdrostaatika (kreeka sõnadest hydor 'vesi' + statike 'liikumatu') on hüdromehaanika haru, mis uurib tasakaalus olevat vedelikku^[1].

Vedeliku tasakaal

Vedeliku tasakaal võib olla absoluutne või suhteline.

• Absoluutseks loetakse tasakaalu, mille korral vedelik on liikumatus anumas ning talle mõjub vaid raskuskiirendus.
• Suhtelise tasakaalu korral on vedelik küll liikumatu, ent paikneb anumas millele mõjub peale raskuskiirenduse ka mõni muu kiirendus.

Hüdrostaatiline rõhk

 Pikemalt artiklis Hüdrostaatiline rõhk

Hüdrostaatiline rõhk on tasakaalus vedelikus pinnaga risti mõjuv pinge.

Hüdrostaatilisel rõhul on kaks omadust:

• hüdrostaatiline rõhk mõjub pinnaga risti;
• hüdrostaatiline rõhk mingis punktis on kõikides suundades ühesugune.

Vedeliku tasakaalu diferentsiaalvõrrandid

Vedeliku tasakaalu diferentsiaalvõrrandite tuletamine. Punkt p asub kuubi keskel

Et selgitada, millest sõltub hüdrostaatiline rõhk, vaadeldakse niisuguse seisvas vedelikus paikneva elementaarristtahuka tasakaalu, mille mõõtmed on dx, dy ja dz^[1]. D'Alembert'i printsiibi kohaselt peab sellele risttahukale mõjuvate mis tahes suunaliste jõudude summa võrduma nulliga^[1].

Et vedelik seisab paigal, mõjuvad risttahukale pinnajõududest üksnes rõhujõud^[1].

Olgu rõhk risttahuka keskel p. Et vedelik on pidev keskkond siis on ka rõhk ruumikoordinaatide suhtes pidev funktsioon ning selle muutus on kirjeldatav Taylori reaga. Kui võtta reast kaks esimest liiget, saab elementaarristtahuka tahkudel ABCD ja A'B'C'D' rõhud vastavalt^[1] ${\displaystyle p-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {dx}{2}}}$ ja ${\displaystyle p+{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {dx}{2}}}$. Rõhujõud neil tahkudel: ${\displaystyle dF'_{px}=(p-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {dx}{2}})dy\ dz}$

ja ${\displaystyle dF'_{px}=(p+{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {dx}{2}})dy\ dz}$

Elementaarristtahukale mõjuv massijõud ${\displaystyle dF_{m}=dma{\frac {}{}}}$, kus a on kiirendus ja risttahuka mass^[1] ${\displaystyle dm=\rho \ dx\ dy\ dz}$. Massijõu rõhtkomponent ${\displaystyle dF_{mx}=\rho a_{x}\ dx\ dy\ dz}$, kus ${\displaystyle a_{x}{\frac {}{}}}$ on kiirenduse x-telje suunaline komponent.

Et risttahukas on tasakaalus, peab rõhtjõudude summa võrduma nulliga: ${\displaystyle dF'_{px}-dF''_{px}+\rho a_{x}\ dx\ dy\ dz=0}$

Korrates kirjeldatud menetlust teiste telgede suhtes, saadakse võrrandid: ${\displaystyle dF'_{py}-dF''_{py}+\rho a_{y}\ dx\ dy\ dz=0}$

${\displaystyle dF'_{pz}-dF''_{pz}+\rho a_{z}\ dx\ dy\ dz=0}$

Pärast lihtsustusi ja võrrandite jagamist elementaarristtahukasse mahtuva vedeliku massiga ${\displaystyle dm=\rho \ dx\ dy\ dz{\frac {}{}}}$ jõutakse avaldisteni

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{x}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\\a_{y}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\\a_{z}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}\end{matrix}}\right.}$

Need on Euleri hüdrostaatika diferentsiaalvõrrandid, mis avaldati 1755.aastal.

Kuid seisva vedeliku kirjeldamiseks on vaja teada rõhku igas punktis. Sobava võrrandi saab sel moel, et Euleri võrrandid asendatakse võrdväärse avaldisega, milles pole osatuletisi. Selleks korrutatakse võrrandipooled dx, dy või dz- ga ning liidetakse:

${\displaystyle a_{x}\ dx+a_{y}\ dy+a_{z}\ dz={\frac {1}{\rho }}({\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz)={\frac {1}{\rho }}dp}$.

Need on Euleri hüdrostaatika diferentsiaalvõrrandid, mis avaldati 1755. a^[1].

Rõhku tasakaalus olevas vedelikus kirjeldab avaldis

${\displaystyle dp=\rho (a_{x}\ dx+a_{y}\ dy+a_{z}\ dz}$. Selle võrrandi integreerimiseks on vaja teada süsteemis mõjuva kiirenduste komponente a_x, a_y ja a_z.

Samarõhupind

 Pikemalt artiklis Samarõhupind

Tasakaalus vedelikus olevaid pindu, mille kõikides punktides valitseb ühesugune rõhk, nimetatakse samarõhupindadeks.

Hüdrostaatika põhivõrrand

 Pikemalt artiklis Hüdrostaatika põhivõrrand

Hüdrostaatika põhivõrrandi rakendusvorm on ${\displaystyle p=p_{0}+\rho gh{\frac {}{}}}$, kus p₀ on rõhk vedeliku pinnal ning ρgh vedelikusamba avaldatav lisarõhk^[1].

Absoluutrõhk, ülerõhk ja vaakum ning nende mõõtmine

Kui hüdrostaatika põhivõrrandis ${\displaystyle p=p_{0}+\rho gh{\frac {}{}}}$ rõhk vabapinnale p₀ võrdub atmosfäärirõhuga (õhurõhuga) p_at, siis saab arvutada absoluutrõhu. See tähendab rõhku, milles sisaldub ka õhurõhk:${\displaystyle p_{abs}=p_{at}+\rho gh{\frac {}{}}}$.

Vedelikusambast tingitud rõhk on siis ülerõhk ehk rõhk, mis on üle atmosfäärse rõhu: ${\displaystyle p_{u}=\rho gh{\frac {}{}}}$

Kui absoluutrõhk vedeliku pinnale erineb õhurõhust ${\displaystyle p_{0}\neq p_{at}{\frac {}{}}}$, siis ülerõhu saab arvutada avaldisest ${\displaystyle p_{u}=(p_{0}-p_{at})+\rho gh{\frac {}{}}}$

Ülerõhu sünonüüm on manomeeterrõhk, sest manomeeter ise on õhurõhu all ja mõõdab ainult ülerõhku^[1].

Kui absoluutrõhk on õhurõhust väiksem, siis on süsteemis vaakum: ${\displaystyle p_{vac}=p_{at}-p_{abs}{\frac {}{}}}$. Vaakumi ülempiiriks on õhurõhk.

Üldkehtivas mõõtühikusüsteemis (SI-süsteem) avaldatakse rõhk paskalites: ${\displaystyle 1\;{\text{Pa}}=1\;{\frac {\text{N}}{{\text{m}}^{2}}}}$. Mittesüsteemsete ühikutena on olnud kasutusel

• atmosfäärid: tehniline- ja füüsikaline atmosfäär ja baar.

Neil kõigil on väga väikesed erinevused ning nad on ligikaudu võrdsed atmosfäärirõhuga ehk 10⁵.

Hüdraulikas väljendatakse rõhku sageli ka vedelikusamba kõrgusega^[1]. Ühikuks on seejuures tavaliselt meeter. Vedelikusamba kõrgus on arvutatav valemist ${\displaystyle h={\frac {p}{\rho g}}}$, kus h on samba kõrgus meetrites, p rõhk Paskalites, ρ vedeliku tihedus ja g raskuskiirendus.

Hüdrotehnikas on seejuures tegemist peamiselt veega, mille tihedus on ${\displaystyle \rho =1000\;{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}}$. Veesamba kõrgusest tuleneb ka tehniline atmosfäär, mis on võrdne rõhuga, mida avaldab 10 m kõrgune veesammas. Rõhu asemel kasutatakse hüdrotehnikas sageli ka terminit surve.

Mõõteriistades kasutatakse sageli rõhu mõõtmiseks ka elavhõbedat, kuna elavhõbe on kõige tihedam vedelik, mis külmub alles väga madalatel miinuskraadidel^[1]. Elavhõbeda tihedus on ${\displaystyle \rho _{Hg}=13600\;{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}}$^[1]. Õhurõhku mõõdetakse elavhõbedamillimeetrites või millibaarides (hektopaskalites): 1 mm Hg (torr)= 1,33×10² Pa. Normaalrõhk on võrdne 760 millimeetrise elavhõbedasamba kõrgusega.

Rõhku (nii ülerõhku kui vaakumit) mõõdetakse vedelikusamba kõrguse või rõhu põhjustatud deformatsiooni kaudu^[1]. Esimest moodust kasutatakse vedelikmanomeetrites (piesomeetris, elavhõbemanomeetris, [vaakummeeter|vaakummeetris] ja mujal), teist vedrumanomeetrites ja samuti vedruvaakummeetrites^[1].

Rõhu mõõtmiseks on kasutusel ka mitmesuguseid elektrilise väljundiga riistu, millel on tenso- või induktsioonandurid.

Hüdrostaatika põhivõrrandi energeetiline ja geomeetriline tõlgendus

Tasakaalus vedelikul on energiavaru, mille arvel on võimalik teha tööd. See on potentsiaalne energia.

Euleri diferentsiaalvõrrandite tuletamisel jagatakse võrrandid läbi ρ dx dy dz-ga, see tähendab elementaarmassiga dm. Sellega taandatakse võrrandid massiühikule^[1]. Hüdrostaatika põhivõrrandi ${\displaystyle z+{\frac {p}{\rho g}}=const}$ saamisel lisandus jagamine raskuskiirendusega g, siit võib järeldada, et see võrrand kehtib vedeliku kaaluühiku kohta^[1].

Vaata ka

• Hüdrostaatiline paradoks

Viited

1. Maastik, A., Haldre, H., Koppel, T. & L. Paal, 1995. Hüdraulika ja pumbad. Tartu, Greif. Lk 17–27 .

Kirjandus

• Maastik, A., Haldre, H., Koppel, T. & L. Paal, 1995. Hüdraulika ja pumbad. Tartu, Greif. 468 lk.