Lineaarne diferentsiaalvõrrand

Lineaarne diferentsiaalvõrrand on diferentsiaalvõrrand, mis on lineaarne otsitava funktsiooni ja selle kõigi tuletiste (või osatuletiste) suhtes.^[1] Üldiselt saab iga lineaarse diferentsiaalvõrrandi esitada kujul

${\displaystyle Ly=g\,}$,

kus diferentsiaaloperaator L on lineaarne, y on otsitav funktsioon (või funktsioonidest moodustatud vektor) ja g on y-st sõltumatu funktsioon (või funktsioonidest moodustatud vektor), mida nimetatakse vabaliikmeks. Operaatori L lineaarsus tähendab, et ${\displaystyle L(\alpha y+\beta z)=\alpha L(y)+\beta L(z)}$, kus ${\displaystyle \alpha }$ ja ${\displaystyle \beta }$ on arvud ja ${\displaystyle y}$ ning ${\displaystyle z}$ funktsioonid. Lineaarsusest järeldub, et otsitav funktsioon (otsitavad funktsioonid) ja kõik selle tuletised (või osatuletised) esinevad võrrandis esimeses astmes.

Lineaarsed diferentsiaalvõrrandid jagunevad omakorda homogeenseteks diferentsiaalvõrranditeks, millel vabaliige puudub (g = 0), ja mittehomogeenseteks dinferentsiaalvõrranditeks, millel on vabaliige olemas (g ≠ 0).

Näide

Näideteks hariliku ühe otsitava funktsiooniga y n-järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju on

${\displaystyle f_{0}(x)y+f_{1}(x)y'+\ldots +f_{n}(x)y^{(n)}=g(x)\,}$,

kus funktsiooni ${\displaystyle f_{0}(x)}$, ${\displaystyle f_{1}(x)}$,...,${\displaystyle f_{n}(x)}$ ja ${\displaystyle g(x)}$ on tuntud funktsioonid. Viimasele võrrandile vastav diferentsiaaloperaator on

${\displaystyle L=f_{0}(x)+f_{1}(x){\frac {d}{dx}}+f_{1}(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+\ldots +f_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}$,

kus ${\displaystyle d/dx}$ on tuletise võtmise operaator, st ${\displaystyle dy/dx=y'}$, ${\displaystyle d^{2}y/dx^{2}=y''}$ jne.

Omadused

Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite oluliseks omaduseks on, et nende lahendid moodustavad mõne sobiva funktsioonide ruumi afiinse alamruumi.

Homogeensete lineaarsete võrrandite lahendid moodustavad vektorruumi, st lahendite liitmisel ja nende arvuga korrutamisel saadav funktsioon on samuti lahend. Tõepoolest, olgu ${\displaystyle y_{1}}$ ja ${\displaystyle y_{2}}$ homogeense võrrandi ${\displaystyle Ly=0}$ lahendid. Vastavalt lineaarsuse tingimusele kehtib ${\displaystyle L(\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\alpha Lx+\beta Ly=0}$, st ka ${\displaystyle y=\alpha y_{1}+\beta y_{2}}$ lahendab võrrandi ${\displaystyle Ly=0}$.

Kui ${\displaystyle y}$ on mittehomogeense võrrandi ${\displaystyle Ly=g}$ ja ${\displaystyle y_{1}}$ on vastava homogeense võrrandi ${\displaystyle Ly=0}$ mõni vabalt valitud lahend, siis ${\displaystyle y+y_{1}}$ on samuti mittehomogeense võrrandi lahend, st ${\displaystyle L(y+y_{1})=Ly+Ly_{1}=g+0=g}$.

Vaata ka

• Fourier' teisendus
• Laplace'i teisendus
• mittelineaarne diferentsiaalvõrrand

Viited

1. Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid

• EqWorld, Linear Partial Differential Equations of Mathematical Physics (Lahendusi lineaarsetele osatuletistega diferentsiaalvõrranditele matemaatilises füüsikas, inglise keeles)