Cosecante

La función cosecante (abreviado como csc o cosec) es la razón trigonométrica recíproca de la función seno, o también su inverso multiplicativo:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {c}{a}}}$

Forma geométrica

Sabiendo que:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \;\alpha }}}$

Trazando una recta horizontal que pasa por F que corta a r en G. A la vista de la figura, podemos ver que el ángulo de G es igual al ángulo de A, dado el triángulo GAF rectángulo en F:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \;\alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {AG}}{\overline {AF}}}={\frac {\overline {AG}}{1}}={\overline {AG}}}$

Otra forma de obtener la representación geométrica es trazando la perpendicular a r por el punto B, esta perpendicular corta el eje y en K, con lo que tenemos:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \;\alpha }}={\frac {\overline {AK}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AK}}{1}}={\overline {AK}}}$

Siendo una representación distinta de la anterior.

Representación gráfica

Seno y cosecante de un ángulo

Partiendo de la definición de cosecante como la inversa del seno:

${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}}$

Y conociendo la función seno previamente, podemos ver que para los valores en los que el seno vale cero, la cosecante se hace infinito, si la función seno tiende a cero desde valores negativos la cosecante tiende a: ${\displaystyle -\infty }$.

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{-}}\sin(\alpha )=0^{-}}$

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{-}}\csc(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to 0^{-}}{\lim }}\;\sin(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{-}}}=-\infty }$

mientras que cuando el seno tiende a cero desde valores positivos la cosecante tiende a: ${\displaystyle +\infty }$.

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\sin(\alpha )=0^{+}}$

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\csc(\alpha )={\cfrac {1}{{\underset {\alpha \to 0^{+}}{\lim }}\;\sin(\alpha )}}={\cfrac {1}{0^{+}}}=+\infty }$

Cuando el seno del ángulo vale uno, su cosecante también vale uno, como se puede ver en la gráfica.

Véase también

• Trigonometría
• Identidad trigonométrica