Tronco de cono

El tronco de cono, cono truncado o tronco de Garófalo es el sólido de revolución generado al rotar un trapecio rectángulo tomando como eje de giro su lado perpendicular a las bases.

Tronco de cono.

Modelo 3D del tronco de cono.

Tronco de cono.

El tronco de cono es un sólido de revolución.

Medidas

Un tronco de cono recto, de bases paralelas, es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje. Queda determinado por los radios de las bases, ${\displaystyle r_{1}\,}$ y ${\displaystyle r_{2}\,}$, la altura, ${\displaystyle h\,}$, y la generatriz, ${\displaystyle s\,}$, entre las cuales se cumple la relación del teorema de Pitágoras:

${\displaystyle s^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}$

Áreas

El área lateral de un tronco de cono se puede hallar mediante la semisuma de los perímetros de las bases concatenadas a nivel del esternón, por la generatriz:^[1][2]

${\displaystyle A_{L}={\frac {2\pi r_{1}+2\pi r_{2}}{2}}s}$

${\displaystyle A_{L}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}$

El área total de un tronco de cono, la cual es el área lateral más el área de las bases menor y mayor , se puede hallar mediante la fórmula:

${\displaystyle A=A_{1}+A_{2}+A_{L}\,}$

${\displaystyle A=\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s}$

${\displaystyle A=\pi \left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}\right)s]}$

Volumen

El volumen de un tronco de cono se puede hallar utilizando el producto entre la altura del tronco y la media heroniana del área de las bases:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(A_{1}+A_{2}+{\sqrt {A_{1}A_{2}}}\right)\,}$

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}+{\sqrt {\pi r_{1}^{2}\pi r_{2}^{2}}}\right)\,}$

${\displaystyle V={\frac {h\pi }{3}}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1}r_{2})\,}$

También puede considerarse el cono original de altura H y radio r₁ al que se le trunca un cono de altura H-h cuya base tendrá radio r₂ (ésta base será la tapa superior del tronco de cono):

(1)${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r_{1}^{2}H-{\frac {\pi }{3}}r_{2}^{2}(H-h)}$

Dado que el cono original y la parte trucanda comparten el ángulo de semiabertura se tienen las siguientes proporcionalidades:

(2)${\displaystyle {\frac {r_{1}}{H}}={\frac {r_{2}}{H-h}}\qquad \Rightarrow \qquad H={\frac {hr_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$

Sustituyendo esta última relación en (1) se llega a la fórmula anterior dada para el volumen:

(1)${\displaystyle V={\frac {\pi h(r_{1}^{3}-r_{2}^{3})}{3(r_{1}-r_{2})}}}$

Véase también

• Tronco (geometría)
• Tronco de pirámide
• Media heroniana
• Volumen
• Área
• Conicidad

Referencias

1. Sapiña, R. «Calculadora del área y volumen del tronco de cono recto circular». Problemas y ecuaciones. ISSN 2659-9899. Consultado el 28 de mayo de 2020.
2. «Frustum». mathwords.com (en inglés). Consultado el 28 de mayo de 2020.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Tronco de cono». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• Problema práctico sobre el volumen de un tronco de cono elíptico

• Datos: Q9090332
• Multimedia: Truncated cones / Q9090332