Teorema de Radon–Nikodym

En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.

El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'^N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.^[1]

Formulación

Dado un espacio medible ${\displaystyle (X,\Sigma )}$, una medida ${\displaystyle \sigma }$-finita ${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to \mathbb {R} } y una medida con signo ${\displaystyle \sigma }$-finita ${\displaystyle \nu$ :\Sigma \to \mathbb {R} } absolutamente continua con respecto a ${\displaystyle \mu }$, entonces existe una función medible ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ que satisface:

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$, para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$.

Además, si ${\displaystyle g}$ es otra función medible en ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ tal que

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}g\,d\mu }$, para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$

entonces ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$-casi siempre.

Derivada de Radon–Nikodym

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función ${\displaystyle f}$ que satisface

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

para todo ${\displaystyle A\in \Sigma }$ se la llama derivada de Radon-Nykodym de ${\displaystyle \nu }$ con respecto a ${\displaystyle \mu }$ y suele representarse mediante ${\displaystyle \textstyle f={{d\nu } \over {d\mu }}}$. Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.

Propiedades

Las demostraciones de las siguientes propiedades se pueden encontrar en.^[2]

• Sean ν, μ y λ medidas σ-finitas en el mismo espacio medible. Si ν ≪ λ y μ ≪ λ (ν y μ son ambas absolutamente continuas con respecto a λ), entonces

 $${\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-casi en todas partes}}.}$$

• Si ν ≪ μ ≪ λ, entonces

 $${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-casi en todas partes}}.}$$

• En particular, si μ ≪ ν y ν ≪ μ, entonces

 $${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-casi en todas partes}}.}$$

• Si μ ≪ λ y g es una función μ-integrable, entonces

 $${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}$$

• Si ν es una medida firmada finita o una medida compleja, entonces

 $${\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu  \over d\mu }\right|.}$$