Forma bilineal definida

En matemática, una forma bilineal definida B es una forma bilineal para la cual

${\displaystyle B(v,v)}$

tiene un signo fijo (positivo o negativo) cuando el argumento v no es 0.

Definición

Para dar una definición formal, sea K uno de los cuerpos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (números reales) o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (los números complejos). Supóngase que ${\displaystyle \mathbb {V} }$ es un espacio vectorial sobre K, y ${\displaystyle B:\mathbb {V} \times \mathbb {V} \longrightarrow K}$ es una forma bilineal que es hermítica en el sentido que B(x, y) es siempre la conjugada compleja de B(y, x).

Entonces B es definida positiva si

${\displaystyle B(x,x)>0}$

para cada x distinto de cero en V. Si es mayor o igual a cero, se dice que B es semidefinida positiva. De manera semejante se tiene la definición para definida negativa y semidefinida negativa. Si por el contrario es libre, se dice que B es indefinida.

Un operador lineal auto-adjunto A en un espacio con producto interno es definido positivo si

${\displaystyle (x,Ax)>0}$

para cada vector distinto de cero x.

Véase también

• Matriz definida positiva

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Positive Definite Quadratic Form». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Datos: Q1182685