Los polinomios de Bernstein o polinomios en la base de Bernstein son una clase particular de polinomios en el campo de los números reales , que son utilizados dentro del ámbito del análisis numérico . El nombre hace referencia al matemático ucraniano Sergei Natanovich Bernstein .
El algoritmo de evaluación más numéricamente estable es el de
De Casteljau .
Un polinomio de Bernstein
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)\,}
n aproxima una función
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
n , a partir de esta fórmula:
P
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
c
i
B
i
n
(
x
)
{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{c_{i}B_{i}^{n}(x)}}
donde los
B
i
n
(
x
)
{\displaystyle B_{i}^{n}(x)}
distribución binomial respecto de la variable
x
{\displaystyle x\,}
c
i
{\displaystyle c_{i}\,}
Para aproximar la función en el intervalo
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\,}
c
i
=
f
(
i
n
)
y
B
i
n
(
x
)
=
(
n
i
)
x
i
(
1
−
x
)
n
−
i
{\displaystyle c_{i}=f\left({\frac {i}{n}}\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)={n \choose i}x^{i}(1-x)^{n-i}}
(aquí
(
n
i
)
{\displaystyle {n \choose i}}
coeficiente binomial ).
y más en general transformando las ecuaciones para un intervalo
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\,}
B
i
n
(
x
)
[
a
,
b
]
{\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}}
base de Bernstein:
c
i
=
f
(
i
b
−
a
n
+
a
)
y
B
i
n
(
x
)
[
a
,
b
]
=
(
n
i
)
(
x
−
a
)
i
(
b
−
x
)
n
−
i
(
b
−
a
)
n
{\displaystyle c_{i}=f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}
Así, la fórmula general desarrollada es:
P
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
f
(
i
b
−
a
n
+
a
)
n
!
i
!
(
n
−
i
)
!
(
x
−
a
)
i
(
b
−
x
)
n
−
i
(
b
−
a
)
n
{\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right){\frac {n!}{i!(n-i)!}}{\frac {(x-a)^{i}(b-x)^{n-i}}{(b-a)^{n}}}}}
Polinomios de Bernstein de grado 3. Para un grado n , existen n+1 polinomios de Bernstein
B
0
n
,
…
,
B
n
n
{\displaystyle B_{0}^{n},\dots ,B_{n}^{n}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\,}
B
i
n
(
x
)
[
a
,
b
]
=
(
n
i
)
(
x
−
a
)
i
(
b
−
x
)
n
−
i
(
b
−
a
)
n
{\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}
Estos polinomios presentan estas propiedades importantes, que cumplen para cualquier valor de
x
{\displaystyle x\,}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\,}
Partición de la unidad :
∑
i
=
0
n
B
i
n
(
x
)
=
1
{\displaystyle \qquad \sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(x)=1}
Positividad :
B
i
n
(
x
)
≥
0
,
∀
i
∈
0
…
n
{\displaystyle B_{i}^{n}(x)\geq 0,\qquad \forall i\in 0\dots n}
Simetría :
B
i
n
(
x
)
=
B
n
−
i
n
(
1
−
x
)
,
∀
i
∈
0
…
n
{\displaystyle B_{i}^{n}(x)=B_{n-i}^{n}(1-x),\qquad \forall i\in 0\dots n}
Las dos primeras propiedades nos indican que forman una combinación convexa .
La modificación por escala y traslación de intervalo no influye sobre los coeficientes del polinomio en cuestión.
Se ha de notar la gran semejanza de estos polinomios con la distribución binomial .
Para el intervalo
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\,}
recurrencia :
B
i
n
(
x
)
=
{
(
1
−
x
)
B
i
n
−
1
(
x
)
,
i
=
0
(
1
−
x
)
B
i
n
−
1
(
x
)
+
x
B
i
−
1
n
−
1
(
x
)
,
i
=
1
…
n
−
1
x
B
i
−
1
n
−
1
(
x
)
,
i
=
n
{\displaystyle B_{i}^{n}(x)={\begin{cases}(1-x)B_{i}^{n-1}(x),&i=0\\(1-x)B_{i}^{n-1}(x)+xB_{i-1}^{n-1}(x),&i=1\dots n-1\\xB_{i-1}^{n-1}(x),&i=n\end{cases}}}
En el caso de un polinomio de orden
2
{\displaystyle 2}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\,}
B
0
2
(
x
)
=
(
2
0
)
x
0
(
1
−
x
)
2
−
0
=
(
1
−
x
)
2
{\displaystyle B_{0}^{2}(x)={2 \choose 0}x^{0}(1-x)^{2-0}=(1-x)^{2}}
B
1
2
(
x
)
=
(
2
1
)
x
1
(
1
−
x
)
2
−
1
=
2
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle B_{1}^{2}(x)={2 \choose 1}x^{1}(1-x)^{2-1}=2x(1-x)}
B
2
2
(
x
)
=
(
2
2
)
x
2
(
1
−
x
)
2
−
2
=
x
2
{\displaystyle B_{2}^{2}(x)={2 \choose 2}x^{2}(1-x)^{2-2}=x^{2}}
Un polinomio expresado en esta base tendría entonces la forma:
P
(
x
)
=
c
0
B
0
2
(
x
)
+
c
1
B
1
2
(
x
)
+
c
2
B
2
2
(
x
)
=
f
(
0
)
(
1
−
x
)
2
+
2
f
(
1
2
)
x
(
1
−
x
)
+
f
(
1
)
x
2
{\displaystyle P(x)=c_{0}B_{0}^{2}(x)+c_{1}B_{1}^{2}(x)+c_{2}B_{2}^{2}(x)=f(0)(1-x)^{2}+2f\left({\frac {1}{2}}\right)x(1-x)+f(1)x^{2}}
Si aproximamos
f
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle f_{1}(x)=x\,}
P
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{1}(x)=x\,}
si evaluamos
f
2
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f_{2}(x)=x^{2}\,}
P
2
(
x
)
=
x
2
+
x
2
{\displaystyle P_{2}(x)={\frac {x^{2}+x}{2}}\,}
y probando con
f
3
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f_{3}(x)=e^{x}\,}
P
3
(
x
)
=
(
1
−
x
)
2
+
2
e
x
(
1
−
x
)
+
e
x
2
≈
0.421
x
2
+
1.29
x
+
1
{\displaystyle P_{3}(x)=(1-x)^{2}+2{\sqrt {e}}\,x(1-x)+ex^{2}\approx \ 0.421x^{2}+1.29x+1\,}
Los polinomios de Bernstein son utilizados para demostrar el teorema de aproximación de Weierstrass y por esto son también utilizados para efectuar aproximaciones e interpolaciones de funciones como, por ejemplo, la curva de Beziér , así como para la estimación de las funciones de densidad de probabilidad :
n que tiende al infinito, el polinomio converge uniformamente hacia la función f (x), o sea
|
B
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
≤
5
/
4
ω
(
f
,
1
/
n
)
{\displaystyle |B_{n}(x)-f(x)|\leq 5/4\ \omega (f,1/{\sqrt {n}})}
donde
ω
(
f
,
δ
)
=
sup
|
h
|
≤
δ
|
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
|
{\displaystyle \omega (f,\delta )=\sup _{|h|\leq \delta }|f(x+h)-f(x)|}
![{\displaystyle [0,1]\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e2b417e116123c724ee6f69cf309f6ad17a2d0)
![{\displaystyle [a,b]\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cb97ebba2cd3175f9a77446963c1849fc353ee)
![{\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a387b7704c0007904f787fdff36bea639ed44e1)
![{\displaystyle c_{i}=f\left(i\,{\frac {b-a}{n}}+a\right)\qquad {\text{y}}\qquad B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af45d25cf3ba26284a1233606eca13a818f652e)
![{\displaystyle B_{i}^{n}(x)_{[a,b]}={n \choose i}{(x-a)^{i}(b-x)^{n-i} \over (b-a)^{n}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4c65caca2aed2b860f55eb39d2e62226f989a2)
Datos: Q826841
Multimedia: Bernstein polynomials / Q826841
