Operador diferencial vectorial

Un operador diferencial vectorial es un operador lineal que actúa sobre campos vectoriales definidos sobre una variedad diferenciable.

Conjunto O x , α n ( h ) {\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h)} de Operadores Fraccionales

El cálculo fraccional de conjuntos (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionado por primera vez en el artículo titulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",^[1] es una metodología derivada del cálculo fraccional.^[2] El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando conjuntos debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.^[3][4][5] Esta metodología se originó a partir del desarrollo del método de Newton-Raphson fraccional ^[6] y trabajos relacionados posteriores.^[7][8][9]

Ilustración de algunas líneas generadas por el método de Newton–Raphson fraccional para la misma condición inicial ${\displaystyle x_{0}}$ pero con diferentes órdenes ${\displaystyle \alpha }$ del operador fraccional implementado. Fuente: Applied Mathematics and Computation

El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero: ${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}$. Gracias a esta notación, L’Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar ${\displaystyle n={\frac {1}{2}}}$ en una derivada. En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles".

El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$. Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}$

Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que ${\displaystyle \alpha \to n}$. Considerando una función escalar ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ y la base canónica de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ denotada por ${\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}$, el siguiente operador fraccional de orden ${\displaystyle \alpha }$ se define utilizando notación de Einstein:^[10]

${\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}$

Denotando ${\displaystyle \partial _{k}^{n}}$ como la derivada parcial de orden ${\displaystyle n}$ con respecto al componente ${\displaystyle k}$-ésimo del vector ${\displaystyle x}$, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales ^{[11] [12]}:

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},}$

cuyo complemento es:

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ para al menos un }}k\geq 1\right\}.}$

Como consecuencia, se define el siguiente conjunto:

${\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).}$

Extensión a Funciones Vectoriales

Para una función ${\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$, el conjunto se define como:

${\displaystyle {}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},}$

donde ${\displaystyle [h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$ denota el ${\displaystyle k}$-ésimo componente de la función ${\displaystyle h}$.

Ejemplos

• Operador rotacional
• Operador gradiente
• Operador divergencia
• Operador laplaciano

Algunos autores consideran además cualquier operador diferencial usado en el cálculo vectorial, por lo que consideran que el operador gradiente es un operador diferencial vectorial, ya que su resultado sobre una función escalar da lugar a un campo vectorial.

Referencias

1. Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods
2. Applications of fractional calculus in physics
3. A review of definitions for fractional derivatives and integral
4. A review of definitions of fractional derivatives and other operators
5. How many fractional derivatives are there?
6. Fractional Newton-Raphson Method
7. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers
8. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming
9. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications
10. Einstein summation for multidimensional arrays
11. Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. (29 de diciembre de 2021). «Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods». Fractal and Fractional 5 (4): 240. doi:10.3390/fractalfract5040240.
12. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers

• Datos: Q7917838