Números de Keith

En el campo de la matemática recreativa, los números de Keith (también conocidos en inglés como repfigit numbers (repetitive Fibonacci-like digit)) son los números que se encuentran en la siguiente sucesión entera:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, ... (sucesión A007629 en OEIS) 

Los números de Keith fueron introducidos por el matemático estadounidense Mike Keith en 1987.^[1] Estos números son, en un sentido computacional, muy difíciles de encontrar: solo se conocen unos 100 de ellos y hay solo 71 menores de 10¹⁹.

Introducción

Para determinar si un número entero positivo N, de n cifras, es un número de Keith, se crea una sucesión entera de estilo similar a la de Fibonacci. Esta sucesión tiene como primeros términos los n dígitos decimales de N, ordenándose desde el dígito más significativo. Se continúa la sucesión, donde cada término es la suma de los anteriores n números. Por definición, N es un número de Keith si N aparece en la secuencia construida.

Analizando un ejemplo:

Considerar el número de 3 dígitos N = 197. La secuencia a construir será:

1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197, 361, ...

Se observa que 197 se encuentra en la sucesión. Por tanto, se afirma que 197 es un número de Keith.

Definición

Un número de Keith es un entero positivo N que aparece como un término en una relación de recurrencia lineal, en donde los términos iniciales son sus dígitos decimales propios. Dado un número de n dígitos

${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}{d_{i}},}$

Se construye una sucesión ${\displaystyle S_{N}}$ cuyos términos iniciales son ${\displaystyle d_{n-1},d_{n-2},\ldots ,d_{1},d_{0}}$ (los dígitos significativos del número de Keith). Un término cualquiera de la sucesión se obtiene sumando los previos n números. Si el número N se encuentra en la sucesión ${\displaystyle S_{N}}$ construida, se afirma que N es un número de Keith.

Los números de un dígito poseen la propiedad explicada. Son normalmente excluidos.

Encontrando números de Keith 

Es materia de especulación y discusión la existencia de infinitos números de Keith. Los números de Keith pueden ser considerados como "extraños" debido a su dificultad para encontrarlos. Pueden ser encontrados por búsqueda exhaustiva, no existiendo un algoritmo eficaz conocido a la fecha.^[2]

Según Keith, se pueden encontrar, en promedio, ${\displaystyle \textstyle {\frac {9}{10}}\log _{2}{10}\approx 2.99}$. Los resultados obtenidos a la fecha apoyan dicha teoría.

Ejemplos

La siguiente sucesión presenta a los números de Keith. Al ser computacionalmente difíciles de encontrar, no se descarta el encontrar más números.

Los primeros números conocidos son:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 129572008, 251133297.^[3]

Otras bases

Se pueden analizar las propiedades de los números de Keith en otras bases. Por ejemplo, la sucesión de números de Keith en base 12 es:

11, 15, 1Ɛ, 22, 2ᘔ, 31, 33, 44, 49, 55, 62, 66, 77, 88, 93, 99, ᘔᘔ, ƐƐ, 125, 215, 24ᘔ, 405, 42ᘔ, 654, 80ᘔ, 8ᘔ3, ᘔ59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4ᘔ1ᘔ, 4ᘔƐ1, 50ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24ᘔ78, 4718Ɛ, 517Ɛᘔ, 157617, 1ᘔ265ᘔ, 5ᘔ4074, 5ᘔƐ140, 6Ɛ1449, 6Ɛ8515, ...

Grupos de Keith

Un grupo de Keith es un conjunto de números de Keith tal que uno (o más números) son múltiplo de otro. Por ejemplo, (14, 28), (1104, 2208), y (31331, 62662, 93993). Estos son posiblemente los únicos tres ejemplos de un grupo de este tipo.^[4]

Referencias

1. Keith, Mike (1987). «Repfigit Numbers». Journal of Recreational Mathematics 19 (2): 41-42.
2. Earls, Jason. «Keith Number». MathWorld.
3. "Sloane's A007629 : Repfigit (REPetitive FIbonacci-like diGIT) numbers (or Keith numbers)", en The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
4. Copeland, Ed. «14 197 and other Keith Numbers». Numberphile. Brady Haran. Archivado desde el original el 22 de mayo de 2017. Consultado el 4 de noviembre de 2017.

• Datos: Q378067