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número natural obtenido por (2^(2^n))+1 De Wikipedia, la enciclopedia libre
Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el que formuló e investigó estos números, es un número natural de la forma , donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.
Primo de Fermat | ||
---|---|---|
Nombrado por | Pierre de Fermat | |
No. de términos conocidos | 5 | |
No. conjeturado de términos | 5 | |
Subsecuencia de | Números de Fermat | |
Primeros términos | 3, 5, 17, 257, 65537 | |
Mayor término conocido | 65537 | |
índice OEIS |
| |
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma
con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
Actualmente, solo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 solo se conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:
Los nueve primeros números de Fermat son los siguientes:
F0 | = | 21 | + | 1 | = | 3 | |
F1 | = | 22 | + | 1 | = | 5 | |
F2 | = | 24 | + | 1 | = | 17 | |
F3 | = | 28 | + | 1 | = | 257 | |
F4 | = | 216 | + | 1 | = | 65.537 | |
F5 | = | 232 | + | 1 | = | 4.294.967.297 | |
= | 641 × 6.700.417 | ||||||
F6 | = | 264 | + | 1 | = | 18.446.744.073.709.551.617 | |
= | 274.177 × 67.280.421.310.721 | ||||||
F7 | = | 2128 | + | 1 | = | 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 | |
= | 59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721 | ||||||
F8 | = | 2256 | + | 1 | = | 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 | |
= | 1.238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321 | ||||||
Carl Friedrich Gauss desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en su obra Disquisitiones arithmeticae y formuló una suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares. Afirmó que esta condición también era necesaria, pero nunca publicó una prueba. Pierre Wantzel dio una prueba completa de la necesidad en 1837. El resultado se conoce como Teorema de Gauss-Wantzel:
Un entero positivo n tiene la forma anterior si y solo si su totiente φ(n) es una potencia de 2.
Los números primos de Fermat son particularmente útiles para generar secuencias pseudoaleatorias de números en el rango 1 ... N, donde N es una potencia de 2. El método más común utilizado es tomar cualquier valor semilla entre 1 y P − 1, donde P es un primo de Fermat. Ahora, se multiplica este valor por un número A, que es mayor que la raíz cuadrada de P y es una raíz primitiva módulo P (es decir, no es un residuo cuadrático). Luego, se toma el resultado módulo P. El resultado es el nuevo valor para el generador de números pseudoaleatorios:
Esto es útil en informática, ya que la mayoría de las estructuras de datos tienen miembros con valores posibles 2X. Por ejemplo, un byte tiene 256 (28) valores posibles (0–255). Por lo tanto, para llenar un byte o bytes con valores aleatorios, se puede usar un generador de números aleatorios que produzca valores de 1 a 256, tomando el byte el valor de salida −1. Los números primos de Fermat muy grandes son de particular interés en el cifrado de datos por este motivo. Este método produce solo valores pseudoaleatorios, ya que después de P − 1 repeticiones, la secuencia se repite. Un multiplicador mal elegido puede hacer que la secuencia se repita antes de P − 1.
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