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En matemáticas, un primo de Eisenstein es un entero de Eisenstein
que es irreducible (o equivalentemente primo) en el sentido de la teoría de anillos: sus únicos divisores de Eisenstein son las unidades 1, 1+ω, ω, -1, -1-ω, -ω, y el propio aω + b y sus múltiplos wu, donde u es una unidad del anillo Z[ω] de los enteros de Eisenstein. Aquí ω es la raíz de la unidad en el sistema ℂ de los números complejos. O de otra manera es una solución de la ecuación z3 - 1= 0
Deben su nombre al matemático alemán Ferdinand Eisenstein.
Los primos de Eisenstein son precisamente aquellos enteros de Eisenstein α que satisfacen una de las siguientes condiciones:
Los primeros enteros de Eisenstein iguales a un primo natural 3n-1 son:
listados como la (sucesión A003627 en OEIS). Algunos primos de Eisenstein no reales son
El conjugado complejo de cualquier primo de Eisenstein es otro; multiplicando un primo de Eisenstein por cualquiera de las unidades 1, 1+ω, ω, -1, -1-ω, -ω también se obtiene un primo de Eisenstein. Excepto por la conjugación y los múltiplos de la unidad, los primos indicados más arriba junto con 2 y 5 son todos los primos de Eisenstein de valor absoluto menor o igual que 7.
En 2005, el mayor primo (real) de Eisenstein conocido es 27653·29167433+1, que a su vez es el quinto mayor primo conocido, descubierto por Gordon.[1] Todos los primos mayores que este son primos de Mersenne, descubiertos por GIMPS. Los primos de Eisenstein reales son congruentes a 2 mod 3, y los de Mersenne (excepto el menor, 3) son congruentes a 1 mod 3.
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