Número primo cúbico

Un primo cúbico (en inglés: cuban prime) es un número primo que también es una solución a una de las dos ecuaciones específicas diferentes que involucran diferencias entre las terceras potencias de dos enteros x e y.

El nombre inglés "cuban prime" (primo cubano) tiene que ver con el papel que juegan los cubos (terceras potencias) en las ecuaciones, pero no consta que tenga relación alguna con la isla de Cuba.

Primera serie

La primera de estas ecuaciones es:

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},\ x=y+1,\ y>0,}$^[1]

es decir, la diferencia entre dos cubos sucesivos. Los primeros primos cubanos de esta ecuación son:

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7219, 70519 , 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227 (sucesión A002407 en OEIS)

La fórmula para un primer mejor primo cúbico de este tipo se puede simplificar a ${\displaystyle 3y^{2}+3y+1}$. Esta es exactamente la forma general de un número hexagonal centrado; es decir, todos estos primos cúbicos son números hexagonales centrados. A 2006 de 01, el más grande conocido tiene 65537 dígitos con ${\displaystyle y=100000845^{4096}}$,^[2] encontrado por Jens Kruse Andersen.

Segunda serie

La segunda de estas ecuaciones es:

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},\ x=y+2,\ y>0.}$^[3]

que simplifica a ${\displaystyle 3y^{2}+6y+4}$. Con una sustitución ${\displaystyle y=n-1}$ también se puede escribir como ${\displaystyle 3n^{2}+1,\ n>1}$.

Los primeros primos cúbicos de esta forma son:

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313 (sucesión A002648 en OEIS)

Véase también

• Función cúbica
• Número primo
• Anexo:Números primos

Referencias

1. Allan Joseph Champneys Cunningham, On quasi-Mersennian numbers, Mess. Math., 41 (1912), 119-146.
2. Caldwell, Prime Pages
3. Cunningham, Binomial Factorisations, Vol. 1, pp. 245-259

Bibliografía

• Caldwell, Dr. Chris K. (ed.), «The Prime Database: 3*100000845^8192 + 3*100000845^4096 + 1», Prime Pages (University of Tennessee at Martin), consultado el 2 de junio de 2012.
• Phil Carmody, Eric W. Weisstein and Ed Pegg, Jr.. «Cuban Prime». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Cunningham, A. J. C. (1923), Binomial Factorisations, London: F. Hodgson, «asin: B000865B7S».
• Cunningham, A. J. C. (1912), «On Quasi-Mersennian Numbers», Messenger of Mathematics (England: Macmillan and Co.) 41: 119-146.

• Datos: Q1530564