Número congruente

En teoría de números, un número congruente es un número entero positivo que representa el área de un triángulo rectángulo cuyos tres lados tienen longitudes que son números racionales.^[1][2] Una definición más general incluye todos los números racionales positivos con esta propiedad.^[3]

Triángulo rectángulo con área 6, un número congruente

La secuencia de números (enteros) congruentes comienza con

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (sucesión A003273 en OEIS)

Tabla de los números congruentes: n ≤ 120
—: Número no congruente
C: Número congruente libre de cuadrados
S: Número congruente con factores cuadrados

n	1	2	3	4	5	6	7	8
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	9	10	11	12	13	14	15	16
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	17	18	19	20	21	22	23	24
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	25	26	27	28	29	30	31	32
	—	—	—	S	C	C	C	—
n	33	34	35	36	37	38	39	40
	—	C	—	—	C	C	C	—
n	41	42	43	44	45	46	47	48
	C	—	—	—	S	C	C	—
n	49	50	51	52	53	54	55	56
	—	—	—	S	C	S	C	S
n	57	58	59	60	61	62	63	64
	—	—	—	S	C	C	S	—
n	65	66	67	68	69	70	71	72
	C	—	—	—	C	C	C	—
n	73	74	75	76	77	78	79	80
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	81	82	83	84	85	86	87	88
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	89	90	91	92	93	94	95	96
	—	—	—	S	C	C	C	S
n	97	98	99	100	101	102	103	104
	—	—	—	—	C	C	C	—
n	105	106	107	108	109	110	111	112
	—	—	—	—	C	C	C	S
n	113	114	115	116	117	118	119	120
	—	—	—	S	S	C	C	S

Por ejemplo, 5 es un número congruente porque es el área de un triángulo de lados (20/3, 3/2, 41/6). De manera similar, 6 es un número congruente porque es el área de un triángulo (3,4,5). En cambio, 3 y 4 no son números congruentes.

Si q es un número congruente, entonces s²q también es un número congruente para cualquier número natural s (simplemente multiplicando cada lado del triángulo por s), y viceversa. Esto lleva a la observación de que si un número racional distinto de cero q es un número congruente depende solo de su residuo en el grupo

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2}}$,

donde ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ es el conjunto de números racionales distintos de cero.

Cada clase de residuo en este grupo contiene exactamente un entero libre de cuadrados y, por lo tanto, es común considerar solo números enteros positivos libres de cuadrados cuando se habla de números congruentes.

Problema de los números congruentes

La cuestión de determinar si un número racional dado es un número congruente se denomina problema de los números congruentes. Este problema no se ha resuelto con éxito (a fecha de 2019). El teorema de Tunnell proporciona un criterio fácilmente comprobable para determinar si un número es congruente; pero su resultado se basa en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que aún no se ha probado.

El teorema del triángulo rectángulo de Fermat, llamado así por Pierre de Fermat, establece que ningún cuadrado perfecto puede ser un número congruente. Sin embargo, en la forma de que todo congruum (la diferencia entre elementos consecutivos en una progresión aritmética de tres cuadrados) no es un cuadrado, ya era conocido (sin demostración) por Leonardo de Pisa.^[4] Todo congruum es un número congruente, y todo número congruente es el producto de un congruum y el cuadrado de un número racional.^[5] Sin embargo, determinar si un número es un congruum es mucho más fácil que determinar si es congruente, porque hay una fórmula parametrizada para los congrua para la que solo se necesita probar un número finito de valores de parámetros.^[6]

Soluciones

n es un número congruente si y solo si el sistema

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=u^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}=v^{2}}$

tiene una solución donde ${\displaystyle x,y,u}$ y ${\displaystyle v}$ son números enteros.^[7]

Dada una solución, los tres números ${\displaystyle u^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}}$ y ${\displaystyle v^{2}}$ formarán una progresión aritmética con diferencia común ${\displaystyle ny^{2}}$.

Además, si hay una solución (donde los lados derechos son cuadrados), entonces hay infinitas: dada cualquier solución ${\displaystyle (x,y)}$, otra solución ${\displaystyle (x',y')}$ se puede calcular a partir de^[8]

${\displaystyle x'=(xu)^{2}+n(yv)^{2}}$,

${\displaystyle y'=2xyuv}$.

Por ejemplo, con ${\displaystyle n=6}$, las ecuaciones son:

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=u^{2}}$,

${\displaystyle x^{2}+6y^{2}=v^{2}}$.

Una solución es ${\displaystyle x=5,y=2}$ (de modo que ${\displaystyle u=1,v=7}$). Otra solución es

${\displaystyle x'=(5\cdot 1)^{2}+6(2\cdot 7)^{2}=1201}$,

${\displaystyle y'=2\cdot 5\cdot 2\cdot 1\cdot 7=140}$.

Con estos nuevos valores de ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, los valores de la derecha siguen siendo cuadrados:

${\displaystyle u^{2}=1201^{2}-6\cdot 140^{2}=1324801=1151^{2}}$

${\displaystyle v^{2}=1201^{2}+6\cdot 140^{2}=1560001=1249^{2}}$.

Dados ${\displaystyle x,y,u}$ y ${\displaystyle v}$, se pueden obtener ${\displaystyle a,b}$ y ${\displaystyle c}$ tales que

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ y ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$

de

${\displaystyle a={\frac {v-u}{y}}}$, ${\displaystyle b={\frac {v+u}{y}}}$, ${\displaystyle c={\frac {2x}{y}}}$.

Entonces ${\displaystyle a,b}$ y ${\displaystyle c}$ son los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo de área ${\displaystyle n}$.

Los valores anteriores ${\displaystyle (x,y,u,v)=(5,2,1,7)}$ producen ${\displaystyle (a,b,c)=(3,4,5)}$. Los valores ${\displaystyle (1201,140,1151,1249)}$ dan ${\displaystyle (a,b,c)=(7/10,120/7,1201/70)}$. Ambos triángulos rectángulos tienen área ${\displaystyle n=6}$.

Relación con las curvas elípticas

La cuestión de si un número dado es congruente resulta ser equivalente a la condición de que cierta curva elíptica tenga rango positivo.^[3] A continuación se presenta un enfoque alternativo a esta idea (como también se puede encontrar esencialmente en la introducción al artículo de Tunnell).

Supóngase que a, b, c son números (no necesariamente positivos o racionales) que satisfacen las siguientes dos ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=&n.\end{matrix}}}$

Luego, se establece que x = n(a+c)/b y y = 2n²(a+c)/b². Mediante un cálculo se demuestra que

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

e y no es 0 (si y = 0 entonces a = -c, entonces b = 0, pero (¹⁄₂)ab = n es distinto de cero, una contradicción).

Por el contrario, si x y y son números que satisfacen la ecuación anterior y y no es 0, entonces a = (x² - n²)/y, b = 2nx/y y c = (x² + n²)/y. Mediante cálculo se demuestra que estos tres números satisfacen las dos ecuaciones para los a, b y c anteriores.

Estas dos correspondencias entre (a,b,c) y (x,y) son inversas entre sí, por lo que se tiene una correspondencia uno a uno entre cualquier solución de las dos ecuaciones en a, b y c y cualquier solución de la ecuación en x e y con y distinto de cero. En particular, de las fórmulas en las dos correspondencias, para n racional se comprueba que a, b y c son racionales si y solo si los correspondientes x e y son racionales, y viceversa.

También se tiene que a, b y c son todos positivos si y solo si x e y son todos positivos; de la ecuación y² = x³ - xn² = x(x² - n²) se deduce que si x e y son positivos, entonces x² - n² debe ser positivo, por lo que la fórmula para a anterior da un valor positivo.

Por lo tanto, un número racional positivo n es congruente si y solo si la ecuación

y² = x³ - n²x

tiene un punto racional con y distinto de 0.

Se puede demostrar (como una aplicación del teorema de Dirichlet sobre números primos en progresión aritmética) que los únicos puntos de torsión en esta curva elíptica son aquellos con y igual a 0, por lo tanto, la existencia de un punto racional con y distinto de cero equivale a decir que la curva elíptica tiene rango positivo.

Otro enfoque para resolver es comenzar con el valor entero de n denotado como N y resolver

${\displaystyle N^{2}=ed^{2}+e^{2}}$

donde

${\displaystyle {\begin{matrix}c&=&n^{2}/e+e\\a&=&2n\\b&=&n^{2}/e-e\end{matrix}}}$

Soluciones más pequeñas

David Goldberg ha calculado números libres de cuadrados congruentes menores que 10⁴, junto con los valores correspondientes de a y b.^[9]

Progreso actual

Se ha trabajado mucho clasificando números congruentes.

Por ejemplo, se sabe^[10] que para un número primo p, se cumple lo siguiente:

• Si p ≡ 3 (mod 8), entonces p no es un número congruente, pero 2p es un número congruente.
• Si p ≡ 5 (mod 8), entonces p es un número congruente.
• Si p ≡ 7 (mod 8), entonces p y 2p son números congruentes.

También se sabe^[11] que en cada una de las clases de congruencia 5, 6, 7 (mod 8), para cualquier k dado hay infinitos números congruentes libres de cuadrados con k factores primos.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Congruent Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
2. Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory ([3rd ed.] edición). New York: Springer. pp. 195-197. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248.
3. Koblitz, Neal (1993), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, New York: Springer Science+Business Media, p. 3, ISBN 0-387-97966-2.
4. Ore, Øystein (2012), Number Theory and Its History, Courier Dover Corporation, pp. 202-203, ISBN 978-0-486-13643-1..
5. Conrad, Keith (Fall 2008), «The congruent number problem», Harvard College Mathematical Review 2 (2): 58-73, archivado desde el original el 20 de enero de 2013..
6. Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, p. 77, ISBN 978-0-471-66700-1..
7. Uspensky, J. V.; Heaslet, M. A. (1939). Elementary Number Theory 2. McGraw Hill. p. 419.
8. Dickson, Leonard Eugene (1966). History of the Theory of Numbers 2. Chelsea. pp. 468-469.
9. Goldberg, David (2021-06-07). «Triangle Sides for Congruent Numbers less than 10,000». arXiv:2106.07373  [math.NT].
10. Paul Monsky (1990), «Mock Heegner Points and Congruent Numbers», Mathematische Zeitschrift 204 (1): 45-67, doi:10.1007/BF02570859.
11. Tian, Ye (2014), «Congruent numbers and Heegner points», Cambridge Journal of Mathematics 2 (1): 117-161, MR 3272014, arXiv:1210.8231, doi:10.4310/CJM.2014.v2.n1.a4..

Bibliografía

• Alter, Ronald (1980), «The Congruent Number Problem», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 87 (1): 43-45, JSTOR 2320381, doi:10.2307/2320381.
• Chandrasekar, V. (1998), «The Congruent Number Problem», Resonance 3 (8): 33-45, doi:10.1007/BF02837344.
• Dickson, Leonard Eugene (2005), «Chapter XVI», History of the Theory of Numbers, Dover Books on Mathematics, II: Diophantine Analysis, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4. - ver, para una historia del problema.
• Guy, Richard (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics (Book 1) (3rd edición), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl 1058.11001. - Se dan muchas referencias.
• Tunnell, Jerrold B. (1983), «A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2», Inventiones Mathematicae 72 (2): 323-334, Bibcode:1983InMat..72..323T, doi:10.1007/BF01389327, hdl:10338.dmlcz/137483.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Congruent Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Se puede encontrar una breve discusión del estado actual del problema con muchas referencias en Alice Silverberg Open Questions in Arithmetic Algebraic Geometry (Postscript) .
• A Trillion Triangles: los matemáticos han resuelto el primer billón de casos (condicional al Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer).

• Datos: Q325978