Modelo atómico de Schrödinger

El modelo atómico de Schrödinger^[1][2] (1926) es un modelo cuántico no relativista. En este modelo los electrones se contemplaban originalmente como una onda estacionaria de materia cuya amplitud decaía rápidamente al sobrepasar el radio atómico.

Densidad de probabilidad de ubicación de un electrón para los primeros niveles de energía.

El modelo de Bohr funcionaba para el átomo de hidrógeno. En los espectros realizados por Schrödinger para otros átomos se observaba que electrones de un mismo nivel energético tenían energías ligeramente diferentes. Esto no tenía explicación en el modelo de Bohr, y sugería que se necesitaba alguna corrección. La propuesta fue que dentro de un mismo nivel energético existían subniveles. La forma concreta en que surgieron de manera natural estos subniveles, fue incorporando órbitas elípticas y correcciones relativistas. Así, en 1916, Arnold Sommerfeld modificó el modelo atómico de Bohr, en el cual los electrones solo giraban en órbitas circulares, al decir que también podían girar en órbitas elípticas más complejas y calculó los efectos relativistas.

Características del modelo

El modelo atómico de Schrödinger concebía los electrones como ondas de materia. Así la ecuación se integraría como la ecuación ondulatoria que describía la evolución en el tiempo y el espacio de dicha onda material. Más tarde Max Born propuso una interpretación probabilística de la difunción de onda de los electrones. Esa nueva interpretación es compatible con:

Adecuación empírica

El modelo atómico de Schrödinger predice adecuadamente las líneas de emisión espectrales, tanto de átomos neutros como de átomos ionizados. También dicen y esta confirmado que el modelo también predice la modificación de los niveles energéticos cuando existe un campo magnético o eléctrico (efecto Zeeman y efecto Stark respectivamente). Además, con ciertas modificaciones semiheurísticas el modelo explica el enlace químico y la estabilidad de las moléculas. Cuando se necesita una alta precisión en los niveles energéticos puede emplearse un modelo similar al de Schrödinger, pero donde el electrón es descrito mediante la ecuación relativista de Dirac en lugar de mediante la ecuación de Schrödinger. En el modelo de Dirac, se toma en cuenta la contribución del espín del electrón.

Solución de la ecuación de Schrödinger

Artículos principales: Átomo de hidrógeno y Átomo hidrogenoide.

Las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger en un campo central electrostático, están caracterizadas por tres números cuánticos (n, l, m) que a su vez están relacionados con lo que en el caso clásico corresponderían a las tres integrales del movimiento independientes de una partícula en un campo central. Estas soluciones o funciones de onda normalizadas vienen dadas en coordenadas esféricas por:

${\displaystyle \psi _{nlm}(\theta ,\phi ,r)=\langle {\vec {r}}|nlm\rangle ={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]}}2}}e^{-{r \over {na_{0}}}}\left({2r \over {na_{0}}}\right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}\left[{2r \over {na_{0}}}\right]Y_{l,m}(\theta ,\phi )}$

donde:

${\displaystyle a_{0}}$ es el radio de Bohr.

${\displaystyle L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho )}$ son los polinomios generalizados de Laguerre de grado n-l-1.

${\displaystyle Y_{l,m}(\theta ,\phi )\,}$ es el armónico esférico (l, m).

Los autovalores son:

Para el operador momento angular:

${\displaystyle L^{2}|n,l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|n,l,m\rangle }$

${\displaystyle L_{z}|n,l,m\rangle =\hbar m|n,l,m\rangle }$

Para el operador hamiltoniano:

${\displaystyle H|n,l,m\rangle =E_{n}|n,l,m\rangle }$

donde:

${\displaystyle E_{n}=-{{mc^{2}Z^{2}\alpha ^{2}} \over {2\cdot n^{2}}}=-{{m \over 2\hbar ^{2}}\left({Ze^{2} \over 4\pi \epsilon _{0}}\right)^{2}{1 \over n^{2}}}}$

α es la constante de estructura fina con Z=1.

Insuficiencias del modelo

Si bien el modelo de Schrödinger describe adecuadamente la estructura electrónica de los átomos, resulta incompleto en otros aspectos:

1. El modelo de Schrödinger en su formulación original no tiene en cuenta el espín de los electrones, esta deficiencia es corregida por el modelo de Schrödinger-Pauli.
2. El modelo de Schrödinger ignora los efectos relativistas de los electrones rápidos, esta deficiencia es corregida por la ecuación de Dirac que además incorpora la descripción del espín electrónico.
3. El modelo de Schrödinger si bien predice razonablemente bien los niveles energéticos, por sí mismo no explica por qué un electrón en un estado cuántico excitado decae hacia un nivel inferior si existe alguno libre. Esto fue explicado por primera vez por la electrodinámica cuántica y es un efecto de la energía del punto cero del vacío cuántico.

Cuando se considera un átomo de hidrógeno los dos primeros aspectos pueden corregirse añadiendo términos correctivos al hamiltoniano atómico.

Predecesor: Modelo atómico de Sommerfeld

Modelo atómico de Schrödinger (1924-1928)

Sucesor: Modelo atómico de Dirac

Véase también

• Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
• Modelo atómico de Thomson
• Modelo atómico de Rutherford
• Modelo atómico de Bohr
• Modelo atómico de Sommerfeld

Referencias

1. Manual de laboratorio de Física electricidad. Universida del Norte. ISBN 9789587410815. Consultado el 11 de diciembre de 2015.
2. Vidal, Sonia Fernández; Miralles, Francesc (4 de abril de 2013). Desayuno con partículas: La ciencia como nunca antes se ha contado. Penguin Random House Grupo Editorial España. ISBN 9788401346750. Consultado el 11 de diciembre de 2015.

Bibliografía

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• Schrödinger, Erwin (1926). «La Cuantizacion como un Problema de Eigenvalores, Segunda Comunicacion». Annalen der Physik 79: 489-527. (en español)
• Schrödinger, Erwin (1933). Mémoires sur la mécanique ondulatoire. París: Félix-Alcan. ISBN 2-87647-048-9.. Reedición Jacques Gabay (1988). Contiene la traducción al francés de Alexandre Proca de las memorias históricas de 1926 :
  • Cuantificación y valores propios (I) y (II), Annalen der Physik (4) 79 (1926) [ (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).] y [ (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).] (en alemán);
  • Sobre la comparación entre la mecánica cuántica de Heisenberg-Born-Jordan y la mía, Annalen der Physik (4) 79 (1926) [] (en alemán);
  • Cuantificación y valores propios (III) - Teoría de las perturbaciones con aplicación del efecto Stark a las rayas de Balmer, Annalen der Physik (4) 80 (1926) [ (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).] (en alemán);
  • Cuantificación y valores propios (IV), Annalen der Physik (4) 81 (1926) [ (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).] (en alemán);
  • Sobre el efecto Compton, Annalen der Physik (4) 82(1927) [ (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).] (en alemán);
  • El teorema de la conservación de la energía y la cantidad de movimiento para las ondas materiales, Annalen der Physik (4) 82 (1927) [ (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).] (en alemán);
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• Datos: Q5548622