Matriz diagonal

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño ${\displaystyle 2\times 2}$ es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}}}$

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mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño ${\displaystyle 3\times 3}$ es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}6&0&0\\0&7&0\\0&0&4\end{bmatrix}}}$

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.

Definición

La matriz ${\displaystyle D=(d_{i,j})}$ con ${\displaystyle n}$ columnas y ${\displaystyle n}$ renglones es diagonal si

${\displaystyle d_{i,j}=0\;{\mbox{si}}\;i\neq j\quad \forall \;i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}$

Los elementos de la diagonal principal de la matriz ${\displaystyle D}$ pueden tomar cualquier valor.

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Operaciones vectoriales

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ y un vector ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}^{T}}$ el producto es:

${\displaystyle D\mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}}$

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ y ${\displaystyle B=\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})}$.

Para la suma de matrices diagonales se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}D+B&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})\end{aligned}}}$

y para el producto de matrices,

${\displaystyle {\begin{aligned}DB&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\dots ,a_{n}b_{n})\end{aligned}}}$

La matriz diagonal ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ es invertible si y sólo si las entradas ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

${\displaystyle D^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})}$

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de ${\displaystyle n\times n}$.

Multiplicar la matriz ${\displaystyle A}$ por la izquierda con ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ equivale a multiplicar la ${\displaystyle i}$-ésima fila de ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle a_{i}}$ para todo ${\displaystyle i}$. Multiplicar la matriz ${\displaystyle A}$ por la derecha con ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ equivale a multiplicar la ${\displaystyle i}$-ésima columna de ${\displaystyle A}$ por ${\displaystyle a_{i}}$ para todo ${\displaystyle i}$.

Propiedades

• El determinante de ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ es igual al producto ${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}}$.
• La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
• La matriz identidad ${\displaystyle I_{n}}$ y la matriz cero son matrices diagonales.
• Los autovalores de ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ son ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$.
• Los vectores ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ forman una base de autovectores.

Usos

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.

• Datos: Q332791