Método de las diferencias finitas

En análisis numérico, el método de las diferencias finitas es utilizado para calcular de manera numérica las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas.^[1]

Ejemplo básico de ecuación de diferencias finitas en economía

Una ecuación sencilla en diferencias finitas

${\displaystyle \ Y_{t+2}-Y_{t}=0}$

La solución se ensaya por tanteo o aproximación

${\displaystyle \ Y_{t+2}=r^{2}}$

${\displaystyle \ Y_{t}=r}$

Sustituyendo en la ecuación inicial

${\displaystyle \ r(r-1)=0\Rightarrow r=1;r=0}$

La solución será

${\displaystyle \ Y_{t}=1^{t}}$

Resolvemos ${\displaystyle Y_{t+2}}$

${\displaystyle \ Y_{t+2}=1^{t+2}=1^{t}1^{2}}$

Comprobamos si la solución es correcta

${\displaystyle \ 1^{t}-1^{t}=0}$

Escribimos la solución general

${\displaystyle \ Y_{t}=c_{1}1^{t}}$

${\displaystyle c_{1}}$ expresa una combinación lineal de la solución

Si analizamos el Wronskiano de soluciones particulares obtendremos para t=0 y t=1

${\displaystyle A(0,1)={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\\\end{bmatrix}}=1-1=0}$

Si el Wronskiano es cero, no podemos determinar una solución correcta.
El método para resolver

${\displaystyle \ y''-y'=0}$

es idéntico pero la solución general se escribe en función del número e.

Véase también

• Método de los volúmenes finitos
• Método de los elementos finitos

Bibliografía

• K.W. Morton y D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction. Cambridge University Press, 2005.
• Oliver Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction, (2006), Albert Ludwigs Universidad de Friburgo
• Autar Kaw y E. Eric Kalu (2008) Numerical Methods with Applications