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aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos De Wikipedia, la enciclopedia libre
Una isometría es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos. Es decir, las isometrías son los morfismos de la categoría de espacios métricos. Dado un espacio euclídeo de dos o tres dimensiones, dos figuras u objetos se dice que existe isometría cuando son congruentes entre sí, o viceversa. Es el caso de las rotaciones.
Las isometrías se usan en ocasiones para una construcción donde un espacio M' es dependiente de otro espacio M.[1]
En geometría, una isometría es una transformación que preserva la distancia entre los puntos y los ángulos entre las líneas. En otras palabras, una isometría es una operación en la que la rotación, traslación y reflexión no alteran las longitudes ni las formas de las figuras geométricas.[2]
Formalmente si E1 y E2 son dos espacios métricos una isometría φ viene definida por lo siguiente:
Siendo d1(·,·) y d2(·,·) las respectivas funciones de distancia en los dos espacios métricos E1 y E2.
Las isometrías son transformaciones geométricas que desempeñan un papel esencial en la geometría y la teoría de grupos dentro de un espacio euclidiano. Estas transformaciones tienen la notoria habilidad de preservar múltiples propiedades significativas de las figuras geométricas a las que se aplican. Entre estas propiedades destacan la conservación de distancias y formas. En el ámbito de la geometría, cuando una isometría se aplica a un objeto, se asegura que características como ángulos, longitudes, paralelismo y simetría, entre otras, se mantengan intactas. Esto convierte a las isometrías en herramientas fundamentales para el análisis y la comprensión de estructuras geométricas, permitiendo la preservación de la integridad de las figuras en el espacio euclidiano.[3]
Las isometrías preservan las longitudes y las distancias entre puntos. Esto significa que si dos puntos A y B están a una distancia d en el espacio original, sus imágenes bajo una isometría conservarán la misma distancia d en el espacio transformado.[4]
El conjunto de todas las aplicaciones que son isometrías de un conjunto contenido en un espacio métrico forma un grupo conocido como grupo de isometría del conjunto. En un espacio euclídeo de dimensión n el grupo de isometría de cualquier conjunto es un subgrupo del grupo producto formado a partir del grupo ortogonal y el grupo de traslaciones:
Dados dos espacios vectoriales normados V y W, una isometría lineal es una aplicación lineal que conserva la norma:
para todo . En este sentido, una isometría conserva la distancia inducida por la norma del espacio vectorial. Una isometría se llama global si es sobreyectiva.
En un espacio prehilbertiano (un espacio vectorial dotado de producto escalar), la anterior definición es equivalente a que
y esto, a que se conserve el producto escalar:
.
En efecto, que esta igualdad implica la anterior es trivial; el recíproco se deduce de que el producto escalar queda determinado por la norma según la identidad del paralelogramo:
Si se conserva la norma, el producto escalar, dado por esta identidad, también.
Según el teorema de Mazur-Ulam, cualquier isometría de un espacio vectorial normado en el cuerpo de los números reales es afín.
Por cómo se definen los ángulos en un espacio vectorial, toda isometría lineal conserva los ángulos, es decir, una isometría lineal es una aplicación conforme lineal.