Función rampa

La función rampa es una función elemental real de un solo argumento, continua y diferenciable en todo su dominio excepto en un punto (inicio de la rama) fácilmente computable a partir de la función mínimo o la función valor absoluto.

Las principales aplicaciones prácticas de esta función se dan en ingeniería (procesamiento digital de señales, plasticidad, etc.). El término "función rampa" se debe a la forma de su representación gráfica.

Definición

La función rampa (denotada de diferentes maneras en la literatura científica: ${\displaystyle {\mbox{rampa}}(\cdot ),R(\cdot ),\langle \cdot \rangle }$)

Y que se define de esta forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}{\mbox{rampa}}:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&x&\to &y={\mbox{rampa}}(x)\end{array}}}$

Puede definirse de diferentes maneras equivalentes:

1. ${\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):={\begin{cases}0&x<0\\x&x\geq 0\end{cases}}}$
2. ${\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):={\frac {x+|x|}{2}}}$ (en términos de la función valor absoluto)
3. ${\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):=\max(x,0)\,}$ (en términos de la función máximo)
4. ${\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):=xH(x)\,}$ (en términos de la función unitaria de Heaviside)

Algunas formas menos elementales de definirla son:

1. ${\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi }$ (primitiva de la función unitaria de Heaviside)
2. ${\displaystyle {\mbox{rampa}}(x):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}$ (producto de convolución)

Propiedades analíticas

No-negativa

En todo su dominio de definición, la función rampa es no-negativa (positiva o cero)

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R}$ :{\mbox{rampa}}(x)\geq 0}

y, por tanto, coincide con su valor absoluto:

${\displaystyle \left|{\mbox{ramp}}(x)\right|={\mbox{rampa}}(x)}$

Derivada

Su derivada (en el sentido de la teoría de distribuciones) es la función unitaria de Heaviside:

${\displaystyle {\mbox{rampa}}'(x)=H(x)={\frac {\mathrm {sgn} (x)+1}{2}}\,}$

A su vez la función unitaria de Heaviside puede escribirse en términos de la función signo (las igualdades anteriores son ciertas en el sentido de las distribuciones).

Convexa

La función rampa es una función convexa ya que:

(*)${\displaystyle {\text{rampa}}(tx+(1-t)y)\leq t\ {\text{rampa}}(x)+(1-t){\text{rampa}}(y).}$

para cada t en [0,1]. Esto puede demostrarse procediendo por casos, es decir, se consideran los casos (a) x > 0 e y > 0, (b) x > 0 e y ≤ 0, (c) x ≤ 0 e y > 0 y (d) x ≤ 0 e y ≤ 0. En los casos (a) y (d) se cumple la igualdad en (*) cuando t en (0,1), mientras que en los casos (b) y (c) se tiene una desigualdad estricta (ya que t y (1 - t) son siempre números positivos.

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de la función rampa viene dada por:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\mbox{rampa}}(x)\right\}(f):=\int _{-\infty }^{\infty }{\mbox{rampa}}(x)e^{-2\pi ifx}dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}$

Donde δ(x) es la delta de Dirac (en esta fórmula, aparece su derivada).

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de ${\displaystyle {\mbox{ramp}}(x)}$ coincide con la transformada de ${\displaystyle f(x)=x}$ ya que para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ ambas funciones coinciden:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\mbox{rampa}}\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}{\mbox{rampa}}(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}}$

Propiedades algebraicas

Invariancia de la función

La función rampa es idempotente, lo cual significa que la composición consigo misma es idéntica a la función original

${\displaystyle {\mbox{rampa}}({\mbox{rampa}}(x))={\mbox{rampa}}(x)\,}$

• Demostración: ${\displaystyle {\mbox{rampa}}({\mbox{rampa}}(x))={\frac {{\mbox{rampa}}(x)+|{\mbox{rampa}}(x)|}{2}}={\frac {{\mbox{rampa}}(x)+{\mbox{rampa}}(x)}{2}}={\frac {2\ {\mbox{rampa}}(x)}{2}}={\mbox{rampa}}(x)}$

donde se ha usado la propiedad de que la función coincide con su valor absoluto.

Suma y producto

• La función rampa de una suma de puede expresarse como:

${\displaystyle {\mbox{rampa}}(x+y)={\begin{cases}x+y&x\geq 0,y\geq 0\\x-|y|&x\geq 0,y\leq 0,|x|\geq |y|\\y-|x|&y\geq 0,x\leq 0,|y|\geq |x|\\0&{\text{(otros casos)}}\end{cases}},\qquad {\mbox{rampa}}(x+y)={\begin{cases}x+y&x\geq 0,y\geq 0\\{\mbox{rampa}}(\max\{x,y\}-\min\{x,y\})&xy<0\\0&{\text{(otros casos)}}\end{cases}}}$

• La función rampa de un producto puede expresarse como:

${\displaystyle {\mbox{rampa}}(xy)={\mbox{rampa}}(x\ {\mbox{sgn}}(y))|y|={\mbox{rampa}}(y\ {\mbox{sgn}}(x))|x|}$

donde ${\displaystyle {\mbox{sgn}}}$ denota a la función signo.

Véase también

• Función definida a trozos

• Función escalón de Heaviside
• Función rectangular
• Función escalonada

• Función identidad
• Función signo
• Valor absoluto
• Funciones de parte entera
• Parte fraccionaria
• Mantisa

Referencias

• Weisstein, Eric W. «RampFunction». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

• Datos: Q1047481