En topología, un espacio de Hausdorff, separado o
es un espacio topológico en el que puntos distintos tienen entornos disjuntos.
Más información Axiomas de separación en espacios topológicos ...
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Los espacios de Hausdorff se llaman así en honor de Felix Hausdorff, uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (de 1914) incluía la propiedad de Hausdorff como axioma.
Todo espacio métrico (y por lo tanto todo espacio normado) es un espacio de Hausdorff.
- Todo espacio de Hausdorff es también de Fréchet o T1, y por lo tanto también es un espacio T D y también un espacio de Kolmogórov o
.
- Así pues, por ser
, todo conjunto unitario es cerrado (para todo punto el conjunto formado por solo ese punto {p} es un conjunto cerrado).
- En un espacio de Hausdorff, las sucesiones convergentes convergen a un único punto.[1]
- Los subespacios de un T2 son T2 (se hereda).[2]
- Los espacios cocientes de espacios Hausdorff pueden ser no Hausdorff. De hecho, todo espacio topológico puede construirse como el cociente de espacios de Hausdorff.[3]
- Todo espacio métrico es de Hausdorff.[1]
- En un espacio de Hausdorff, los puntos distintos son topológicamente distinguibles.[4]
- Todo Espacio Métrico
es Hausdorff. Demostración: Para que sea Hausdorff basta con probar que para todos los puntos x e y (
) existen 2 abiertos
,
(
) disjuntos (es decir
). Esto es trivial pues los espacios métricos están dotados de una distancia (por definición) y podemos elegir abiertos tales que si
con
donde
, luego existen esos abiertos
,
y claramente
.
- El conjunto de los números Reales con la topología usual
. La demostración es igual a la anterior pues se da que la topología usual sobre
es la topología inducida por la distancia usual,
.
- Cualquier conjunto no vacío con la topología trivial
donde
no es de Haussdorf, pues cualquier abierto que contenga al punto
ha de ser el total, que contendrá a
lo que hace imposible separarlos en abiertos disjuntos.
- Un conjunto X con la topología discreta
. Demostración: Basta con aplicar la definición de topología discreta, sabemos que en
todo elemento
con
es un conjunto abierto, luego se da que es totalmente disconexa, veamos si cumple Hausdorff: ¿Para todo par de puntos x,y
existen dos abiertos
disjuntos? Sí pues todo elemento
es abierto. Fin de la demostración.
- Un conjunto no numerable
con la topología conumerable
no es Hausdorff. La topología conumerable es la siguiente:
. Para que dicho espacio fuese Hausdorff tendríamos que ver que todo par de puntos
poseen dos abiertos
disjuntos. No es posible que sean disjuntos, ya que si la intersección fuese vacía,
. Esto es imposible, pues
y
son conjuntos numerables (por ser
y
abiertos de la topología) y su unión también es numerable, pero
es no numerable, lo que contradice que los abiertos puedan ser disjuntos y por tanto convirtiendo a
en un espacio que no es de Hausdorff.
- Arkhangelskii, A.V., L.S. Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-18178-4.
- Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966).
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Espacio de Hausdorff», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
Shimrat, M. (1956). «Decomposition spaces and separation properties». Quart. J. Math. 2: 128-129.