Dado un cuerpo
y una extensión
, se dice que un elemento
es algebraico sobre
si y solo si existe un polinomio
, que pertenece al anillo de polinomios con coeficientes en
, tal que
. En caso contrario se dice que
es trascendente.
Construcción
Sean dos cuerpos
y
de forma que
es extensión de
.
Sea
. Si
, entonces
es raíz del polinomio
, que es irreducible en
(todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier anillo de polinomios). Si
, entonces realizamos la siguiente construcción:
- Construimos el conjunto
. Este conjunto es un cuerpo, es extensión de
, es subcuerpo de
, y de hecho es la menor extensión de
que contiene a
. Se le denomina extensión generada por
sobre
.
- Construimos la aplicación
que a cada polinomio
le hace corresponder su evaluación en
, i.e.,
. Esta aplicación es de hecho un homomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina aplicación evaluación.
Ahora solo pueden darse dos situaciones:
- ker
. En este caso se dice que
es elemento trascendente sobre
.
. En este caso se dice que
es elemento algebraico sobre
.
Demostración |
Como es dominio de ideales principales y el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal del anillo de partida del homomorfismo, entonces (esto es, el ideal generado por ) para algún .
Por el Primer Teorema de Isomorfía, , donde es el monomorfismo inclusión canónica (i.e., cualquiera que sea el ), es el homomorfismo sobreyectivo aplicación proyección canónica (a cada le asigna su clase en el cociente ), y es un isomorfismo de anillos unitarios.
Como es sobreyectiva (ya que es isomorfismo), , que es subanillo de , quien a su vez es un cuerpo, luego es dominio íntegro por carecer de divisores de cero no nulos, con lo que también es dominio íntegro.
Pero si es dominio íntegro será un ideal primo de . Sabemos que (por hipótesis), luego . Además, si fuera (también por hipótesis). Con lo cual tenemos garantizado que es un polinomio irreducible en (por ser dominio de ideales principales). Además, como es dominio de ideales principales, todo ideal primo es maximal, con lo cual es ideal maximal de , luego es un cuerpo. Así es un subcuerpo de . Como , si será , con lo que se demuestra que es subcuerpo de .
Por otro lado, , con lo que . Así, es un subcuerpo de que contiene a y a . Como es la menor extensión de que contiene a llegamos a la conclusión de que .
En esta segunda situación ( , o equivalentemente, existe algún irreducible con ) se dice que es algebraico sobre . |