Ecuación de Washburn

En física, la ecuación de Washburn describe el flujo capilar en un haz de tubos cilíndricos paralelos; se extiende con algunos problemas también a la imbibición en materiales porosos. La ecuación lleva el nombre de Edward Wight Washburn;^[1] también conocida como ecuación de Lucas-Washburn , considerando que Richard Lucas^[2] escribió un artículo similar tres años antes, o la ecuación de Bell-Cameron-Lucas-Washburn, considerando el descubrimiento de JM Bell y FK Cameron de la forma de la ecuación en 1906.^[3]

Derivación

Medición de la humectabilidad del polvo con el método Washburn.

En su forma más general, la ecuación de Lucas Washburn describe la longitud de penetración (${\displaystyle L}$) de un líquido en un poro capilar o tubo con el tiempo ${\displaystyle t}$ como ${\displaystyle L=(Dt)^{\frac {1}{2}}}$, donde ${\displaystyle D}$ es un coeficiente de difusión simplificado.^[4] Esta relación, que es válida para una variedad de situaciones, captura la esencia de la ecuación de Lucas y Washburn y muestra que la penetración capilar y el transporte de fluidos a través de estructuras porosas exhiben un comportamiento difusivo similar al que ocurre en numerosos sistemas físicos y químicos. El coeficiente de difusión ${\displaystyle D}$ está gobernado por la geometría del capilar así como por las propiedades del fluido penetrante.

${\displaystyle L={\sqrt {\frac {\gamma \,r\cos(\phi )\,t}{2\eta }}}}$

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle L}$	Distancia de penetración en capilar	m
${\displaystyle \eta }$	Viscosidad dinámica	Pa s
${\displaystyle \gamma }$	Tensión superficial	N / m
${\displaystyle r}$	Radio de poro de capilar	m
${\displaystyle \phi }$	Ángulo de contacto entre el líquido penetrante y el sólido (pared del tubo)
${\displaystyle t}$	Tiempo	s

La ecuación de Washburn también se utiliza comúnmente para determinar el ángulo de contacto de un líquido con un polvo utilizando un tensiómetro de fuerza.^[5]

En el caso de los materiales porosos, se han planteado muchas cuestiones tanto sobre el significado físico del radio de poro calculado ${\displaystyle r}$^[6] como sobre la posibilidad real de utilizar esta ecuación para el cálculo del ángulo de contacto del sólido.^[7] La ecuación se deduce para el flujo capilar en un tubo cilíndrico en ausencia de un campo gravitatorio, pero es suficientemente precisa en muchos casos cuando la fuerza capilar sigue siendo significativamente mayor que la fuerza gravitatoria.

En su estudio de 1921 Washburn aplica la la Ley de Poiseuille para el movimiento de fluidos en un tubo circular. Insertando la expresión para un volumen diferencial en términos de la longitud ${\displaystyle l}$ del fluido en el tubo ${\displaystyle dV=\pi r^{2}dl}$, se obtiene

${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum p}{8\eta \ r^{2}l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3})}$

Símbolo	Nombre	Unidad	Fórmula
${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}}$		m / s
${\displaystyle \sum p}$	Suma de las presiones existentes	Pa
${\displaystyle p_{A}}$	Presión atmosférica	Pa
${\displaystyle p_{h}}$	Presión hidrostática	Pa	${\displaystyle p_{h}=\rho gh-\rho gl\sin \psi }$
${\displaystyle p_{c}}$	Presión equivalente debido a las fuerzas de la capilaridad	Pa	${\displaystyle p_{c}={\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi }$
${\displaystyle \eta }$	Viscosidad dinámica del líquido	Pa s
${\displaystyle \rho }$	Densidad del líquido	kg / m3
${\displaystyle \gamma }$	Tensión superficial	N / m
${\displaystyle \epsilon }$	Coeficiente de deslizamiento Se supone 0 para materiales humedecidos	m
${\displaystyle r}$	Radio de capilaridad	m
${\displaystyle \psi }$	Ángulo del tubo con respecto al eje horizontal
${\displaystyle \phi }$	Ángulo de contacto del líquido con el material capilar

La sustitución de estas expresiones conduce a la primera ecuación diferencial de primer orden para la longitud a la que el fluido penetra en el tubo ${\displaystyle l}$:

${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[p_{A}+\rho g(h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8\eta \,r^{2}l}}}$

Constante de Washburn

La «constante de Washburn» puede ser incluida en la ecuación de Washburn.

Se calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {10^{4}\left[\mathrm {\frac {\mu m}{cm}} \right]\left[\mathrm {\frac {N}{m^{2}}} \right]}{68947.6\left[\mathrm {\frac {dynes}{cm^{2}}} \right]}}=0.1450(38)}$^[8][9]

Inercia del fluido

En la derivación de la ecuación de Washburn, la inercia del líquido se despreciapor ser insignificante. Esto es evidente en la dependencia de la longitud ${\displaystyle L}$ de la raíz cuadrada del tiempo ${\displaystyle L\propto {\sqrt {t}}}$ que da una velocidad arbitrariamente grande dL/dt para los pequeños valores de t.

Una versión mejorada de la ecuación de Washburn, llamada ecuación de Bosanquet, tiene en cuenta la inercia del líquido.^[10]

Aplicaciones

Impresión por inyección de tinta

La penetración de un líquido en el sustrato que fluye bajo su propia presión capilar puede ser calculada usando una versión simplificada de la ecuación de Washburn:^[11][12]

${\displaystyle l=\left[{\frac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {r\cos \theta }{2}}\right]^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}}$ donde la relación tensión superficial-viscosidad ${\displaystyle \left[{\tfrac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}}$ representa la velocidad de penetración de la tinta en el sustrato. En realidad, la evaporación de los disolventes limita el grado de penetración de los líquidos en una capa porosa y, por lo tanto, para la modelización significativa de la física de la impresión por chorro de tinta es conveniente utilizar modelos que tengan en cuenta los efectos de la evaporación en una penetración capilar limitada.

Alimentos

Según el físico y ganador del Premio Ig Nobel de Física en 1999, Len Fisher, la «ecuación de Washburn» puede ser extremadamente precisa para materiales más complejos, incluyendo galletas.^[13][14] Tras una celebración informal llamada día nacional de remojo de galletas, algunos artículos de periódico citaron la ecuación como la ecuación de Fisher.^[15]

La nueva bomba capilar

El comportamiento del flujo en el capilar tradicional sigue la «ecuación de Washburn». Recientemente se han desarrollado nuevas bombas capilares con un caudal de bombeo constante independiente de la viscosidad del líquido,^{[16][17][18][19]} que tienen una ventaja significativa sobre la bomba capilar tradicional, cuyo comportamiento de flujo es el de Washburn, es decir, el caudal no es constante. Estos nuevos conceptos de bomba capilar tienen un gran potencial para mejorar el rendimiento de la prueba de flujo lateral.

Véase también

• Ecuación de Bosanquet

Referencias

1. Edward W. Washburn (1921). «The Dynamics of Capillary Flow». Physical Review 17 (3): 273. Bibcode:1921PhRv...17..273W. doi:10.1103/PhysRev.17.273.
2. Lucas, R. (1918). «Ueber das Zeitgesetz des Kapillaren Aufstiegs von Flussigkeiten». Kolloid Z. 23: 15. doi:10.1007/bf01461107.
3. Bell, J.M. & Cameron, F.K. (1906). «The flow of liquids through capillary spaces». J. Phys. Chem. 10 (8): 658-674. doi:10.1021/j150080a005.
4. Liu, M. (2016). «Evaporation limited radial capillary penetration in porous media». Langmuir 32 (38): 9899-9904. PMID 27583455. doi:10.1021/acs.langmuir.6b02404.
5. Alghunaim, Abdullah; Kirdponpattara, Suchata; Newby, Bi-min Zhang (2016). «Techniques for determining contact angle and wettability of powders». Powder Technology (en inglés) 287: 201-215. doi:10.1016/j.powtec.2015.10.002.
6. Dullien, F. A. L. (1979). Porous Media: Fluid Transport and Pore Structure.. New York: Academic Press. ISBN 978-0-12-223650-1.
7. Marco, Brugnara; Claudio, Della Volpe; Stefano, Siboni (2006). «Wettability of porous materials. II. Can we obtain the contact angle from the Washburn equation?». En Mittal, K. L., ed. Contact Angle, Wettability and Adhesion. Mass. VSP.
8. Micromeritics, "Autopore IV User Manual", September (2000). Section B, Appendix D: Data Reduction, page D-1. (Note that the addition of 1N/m2 is not given in this reference, merely implied)
9. Micromeritics, Akima, Hiroshi (1970). «A new method of interpolation and smooth curve fitting based on local procedures». Journal of the ACM 17 (4): 589-602. doi:10.1145/321607.321609.
10. Schoelkopf, Joachim; Matthews, G. Peter (2000). «Influence of inertia on liquid absorption into paper coating structures». Nordic Pulp & Paper Research Journal 15 (5): 422-430. doi:10.3183/npprj-2000-15-05-p422-430.
11. Oliver, J. F. (1982). «Wetting and Penetration of Paper Surfaces». Colloids and Surfaces in Reprographic Technology. ACS Symposium Series 200. pp. 435-453. ISBN 978-0-8412-0737-0. ISSN 1947-5918. doi:10.1021/bk-1982-0200.ch022.
12. Leelajariyakul, S.; Noguchi, H.; Kiatkamjornwong, S. (2008). «Surface-modified and micro-encapsulated pigmented inks for ink jet printing on textile fabrics». Progress in Organic Coatings 62 (2): 145-161. ISSN 0300-9440. doi:10.1016/j.porgcoat.2007.10.005.
13. «The 1999 Ig Nobel Prize Ceremony». improbable.com. Improbable Research. Consultado el 7 de octubre de 2015. «Len Fisher, discoverer of the optimal way to dunk a biscuit.»
14. Barb, Natalie (25 de noviembre de 1998). «No more flunking on dunking». bbc.co.uk. BBC News. Consultado el 7 de octubre de 2015.
15. Fisher, Len (11 de febrero de 1999). «Physics takes the biscuit». Nature 397 (6719): 469. Bibcode:1999Natur.397..469F. doi:10.1038/17203. «Washburn will be turning in his grave to learn that the media have renamed his work the "Fisher equation".»
16. Weijin Guo; Jonas Hansson; Wouter van der Wijngaart (2016). «Viscosity Independent Paper Microfluidic Imbibition». MicroTAS 2016, Dublin, Ireland.
17. Weijin Guo; Jonas Hansson; Wouter van der Wijngaart (2016). «Capillary Pumping Independent of Liquid Sample Viscosity». Langmuir 32 (48): 12650-12655. PMID 27798835. doi:10.1021/acs.langmuir.6b03488.
18. Weijin Guo; Jonas Hansson; Wouter van der Wijngaart (2017). «Capillary pumping with a constant flow rate independent of the liquid sample viscosity and surface energy». IEEE MEMS 2017, las Vegas, USA. pp. 339-341. ISBN 978-1-5090-5078-9. doi:10.1109/MEMSYS.2017.7863410.
19. Weijin Guo; Jonas Hansson; Wouter van der Wijngaart (2018). «Capillary pumping independent of the liquid surface energy and viscosity». Microsystems & Nanoengineering 4 (1): 2. Bibcode:2018MicNa...4....2G. PMC 6220164. PMID 31057892. doi:10.1038/s41378-018-0002-9.

Enlaces externos

• Medición de la humectabilidad del polvo con el método Washburn

• Datos: Q1280083