Ecuación de Colebrook-White

La Ecuación de Colebrook-White es una fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy ${\displaystyle \lambda }$ también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor ${\displaystyle f}$ que aparece en la ecuación de Darcy-Weisbach.

La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939)^[1][2] es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=-2\log _{10}{\left({\frac {k/D}{3,7}}+{\frac {2,51}{Re{\sqrt {\lambda }}}}\right)}}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle Re}$	Número de Reynolds
${\displaystyle k/D}$	Rugosidad relativa
${\displaystyle \lambda }$	Factor de fricción

El campo de aplicación de esta fórmula se encuentra en la zona de transición de flujo laminar a flujo turbulento y flujo turbulento. Para la obtención de ${\displaystyle \lambda }$ es necesario el uso de métodos iterativos. Otra forma más sencilla y directa de obtener el valor de ${\displaystyle \lambda }$ es hacer uso del diagrama de Moody.

Para el caso particular de tuberías lisas la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma, es muy pequeño con lo que el término ${\displaystyle k/D}$ es muy pequeño y puede despreciarse el primer sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación anterior. Quedando en este caso particular la ecuación del siguiente modo:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=2\log _{10}{\left(Re{\sqrt {\lambda }}\right)}-0,8}$

Para números de Reynolds muy grandes el segundo sumando situado dentro del paréntesis de la ecuación de Colebrook-White es despreciable. En este caso la viscosidad no influye en la práctica a la hora de determinar el coeficiente de fricción, este únicamente depende de la rugosidad relativa ${\displaystyle k/D}$ de la tubería. Esto se manifiesta en el diagrama de Moody en que en la curva para valores elevados de ${\displaystyle Re}$ se hacen rectas horizontales.

Aproximaciones conocidas para el cálculo del factor de fricción

Para la solución de la ecuación implícita de Colebrook-White se han planteado diversos técnicas divididas en dos tipos principalmente^[3]

Métodos iterativos implícitos.

Existen varias formas de solucionar la ecuación de Colebrook-White de forma iterativa pero se presenta aquí solo el algoritmo de Newton-Raphson.^[4]

Solución implícita por Iteración de Método de Newton-Raphson

La ecuación se plantea con un proceso iterativo en ${\displaystyle \lambda }$.

Primero es necesario suponer un valor de ${\displaystyle \lambda =0.001}$

Calcular:

${\displaystyle x={1 \over {\lambda }^{0.5}}}$

${\displaystyle a={{k/\ D} \over 3.70}}$

${\displaystyle b={2.51 \over Re}}$

${\displaystyle f(x)={-2.0\cdot log_{10}{(a+b\cdot x)}}}$

${\displaystyle f'(x)={-2.0 \over {ln(10)}}\cdot ({b \over {a+b\cdot x}})}$

${\displaystyle \Delta ={{f(x)-x} \over {f'(x)-1}}}$

Si ${\displaystyle \Delta >~1e^{-8}}$ entonces

${\displaystyle x=x-\Delta }$

Repetir hasta lograr convergencia en ${\displaystyle x}$.

Por último calcular ${\displaystyle \lambda }$ a partir de ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle \lambda ={1 \over x^{2}}}$

Donde ${\displaystyle \lambda }$ está en función de:

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle k}$	Rugosidad de la tubería	(mm) o (pulg)
${\displaystyle D}$	Diámetro	(mm) o (pulg)
${\displaystyle Re}$	Número de Reynolds

Métodos directos, explícitos.

Existen muchas ecuaciones explícitas a la ecuación de Colebrook-White como:

• Moody (1944,^[5] 1947^[6]),

• Wood (1966^[7]),

• Eck (1973^[8]),

• Churchill (1973^[9]),

• Swamee & Jain (1976^[10]),

• Chen (1979^[11]),

• Round (1980^[12]),

• Barr (1981^[13]),

• Zigrang and Sylvester (1982^[14]),

• Haaland (1983^[15]),

• Serghides (1984^[16]),

• Manadilli (1997^[17]),

• Romeo et al (2002^[18]),

• Sonnad and Goudar (2006^[19]),

• Buzelli (2008^[20]),

• Avci and Karagoz (2009^[21]),

• Papaevangelou et al. (2010^[22]) and

• Brkic (2011^[23]).

Sin embargo debe recordarse que estas ecuaciones corresponden a aproximaciones y regresiones de valores calculados a partir de métodos implícitos como el de Newton-Raphson. Tan sólo la ecuación de Avci and Karagoz (2009) ha sido desarrollada a partir de datos de laboratorio recientes conocidos como "Princeton University super-pipe data".^[24]

Solución explícita con la ecuación de Goudar–Sonnad

La ecuación de Goudar es una de las aproximaciones para hallar el factor de fricción ${\displaystyle \lambda }$ de Darcy–Weisbach, en tuberías circulares; la cual ha sido calculada de la ecuación de Colebrook–White. Teniéndose:

${\displaystyle a={2 \over \ln(10)}}$

${\displaystyle b={k/D \over 3.7}}$

${\displaystyle d={\ln(10)Re \over 5.02}}$

${\displaystyle s={bd+\ln(d)}}$

${\displaystyle q={{s}^{s/(s+1)}}}$

${\displaystyle g={bd+\ln {d \over q}}}$

${\displaystyle z={\ln {q \over g}}}$

${\displaystyle D_{LA}=z{g \over {g+1}}}$

${\displaystyle D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}={a\left[\ln \left({\frac {d}{q}}\right)+D_{CFA}\right]}}$

Donde λ está en función de:

• Rugosidad de la tubería, ${\displaystyle k}$ (mm, pulgada)
• Diámetro, ${\displaystyle D}$ (mm, pulgada)
• Número de Reynolds, ${\displaystyle Re}$ (adimensional).

Discusión acerca del error de las aproximaciones

Brkic,^[3] encontró que las aproximaciones con menor error máximo (<0.14%) son las de Romeo-Royo-Monzon, Buzelli, Serghides, Zigrang-Silvester. Mientras que del otro lado de la balanza, las aproximaciones con mayor error relativo (>8.0%) fueron las de Eck, Round, Moody, Wood, Rao-Kumar.

Un resultado interesante de este trabajo radica en que la aproximación más usada para aproximar la ecuación de Colebrook suele ser la de Swamee y Jain, pero esta presenta un error máximo relativo superior al 2.0%.