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polinomio que caracteriza las rectas en el espacio tridimensional proyectivo De Wikipedia, la enciclopedia libre
En matemáticas, las líneas de un espacio proyectivo tridimensional S, pueden verse como puntos de un espacio proyectivo de 5 dimensiones, T. En ese espacio de 5 dimensiones, los puntos que representan cada línea en S se encuentran en un cuádrica Q, conocida como cuádrica de Klein.[1]
Si el espacio vectorial subyacente de S es el espacio vectorial de 4 dimensiones V, entonces T tiene como espacio vectorial subyacente de 6 dimensiones el producto exterior Λ2V de V. Las coordenadas de la recta obtenidas de esta forma se conocen como coordenadas plückerianas.
Estas coordenadas de Plücker satisfacen la relación cuadrática
definiendo Q, de forma que
son las coordenadas de la recta abarcada por los dos vectores u y v.
El 3-espacio, S, se puede reconstruir de nuevo a partir de la cuádrica Q: los planos contenidos en Q quedan en dos clases de equivalencia, donde los planos de la misma clase se encuentran en un punto, y planos de diferentes clases se encuentran en una línea o en el conjunto vacío. Sean estas clases y . La geometría de S se recupera de la siguiente manera:
El hecho de que las geometrías de S y Q sean isomorfas puede explicarse por el isomorfismo de los diagramas de Dynkin A3 y D3.
En el espacio proyectivo de 5 dimensiones, la cuádrica de Klein tiene la siguiente ecuación en coordenadas homogéneas:
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