Coordenadas cilíndricas parabólicas

En matemáticas, las coordenadas cilíndricas parabólicas^[1] son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resultan de la proyección del sistema de coordenadas parabólicas bidimensional en la dirección perpendicular a ${\displaystyle z}$. Así, las superficies coordenadas son cilindros parabólicos confocales. Las coordenadas cilíndricas parabólicas poseen incontables aplicaciones como, por ejemplo, en la teoría potencial de las aristas.

Superficies coordinadas de las coordenadas cilíndricas parabólicas. El cilindro parabólico rojo corresponde a σ = 2, mientras el cilindro parabólico amarillo corresponde a τ = 1. El plan azul corresponde la z= 2. Estas superficies se cruzan al punto P (mostrado como una esfera negra), cuyas coordenadas cartesianas son aproximadamente (2, -1,5, 2).

Definición básica

Sistema de coordenadas parabólicas mostrando las curvas con σ y τ constantes. Los ejes horizontal y vertical son las coordenadas x y y, respectivamente. Tales coordenadas son proyectadas al largo del eje z, y así este diagrama valle para cualquier valor de la coordenada z

Las coordenadas cilíndricas parabólicas (σ, τ, z) son definidas en términos de las coordenadas cartesianas (x, y, z) por:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Las superficies con la constante σ forman cilindros parabólicos confocales de ecuaciones

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

con concavidad vuelta para la dirección +y, mientras que las superficies con constante τ forman cilindros parabólicos confocales de ecuaciones

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección −y. Los focos de todos estos cilindros parabólicos están localizados al largo de la recta definida por x = y = 0. El rayo r tiene una ecuación simple, a saber,

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$

que es útil en la resolución de la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas para el problema de la fuerza central inversa al cuadrado de la distancia, de la mecánica. Para más detalles, ver el artículo vector de Laplace-Runge-Lenz.

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas cilíndricas parabólicas σ y τ son:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}}$

Elementos diferenciales

El elemento infinitesimal de volumen es

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz}$

El desplazamiento diferencial está dado por:

${\displaystyle d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}} }$

El área normal diferencial está dada por:

${\displaystyle d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}} }$

Nabla

Sea f un campo escalar. El gradiente está dado por

${\displaystyle \nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} }$

El laplaciano está dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

Sea A un campo vectorial de la forma:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{\varphi }\mathbf {\hat {z}} }$

La divergencia está dada por

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}}$

El rotacional es dado por

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}\right)\mathbf {\hat {z}} }$

Otros operadores diferenciales pueden expresarse en las coordenadas (σ, τ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales encontradas en coordenadas ortogonales.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z):

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Los vectores unitarios parabólicos expresados en términos de vectores unitarios cartesianos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}}$

Armónicas del cilindro parabólico

Como todas las superficies de constante σ, τ y z son conicoides, La ecuación de Laplace es separable en coordenadas cilíndricas parabólicas. Utilizando la técnica de separación de variables, se puede escribir una solución separada a la ecuación de Laplace:

${\displaystyle V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)}$

y la ecuación de Laplace, dividida por V, es escrita:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}$

Dado que la ecuación Z está separada del resto, se podría escribir:

${\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}}$

donde m es la constante. Z(z) tiene la solución:

${\displaystyle Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}}$

Sustituyendo −m² por ${\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}$, la ecuación de Laplace se podría escribir tal que:

${\displaystyle \left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}$

Ahora separamos las funciones S y T e introducimos otra constante, n² para obtener:

${\displaystyle {\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0}$

${\displaystyle {\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0}$

Las soluciones a esas ecuaciones son las funciones de cilindro parabólico

${\displaystyle S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}$

${\displaystyle T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})}$

Los armónicos del cilindro parabólico para (m, n) ahora son el producto de las soluciones. La combinación reducirá la cantidad de constantes y se podrá escribir la solución general a la ecuación de Laplace:

${\displaystyle V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}}$

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas cilíndricas parabólicas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales, como por ejemplo la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las cuales esas coordenadas permiten la utilización de la técnica de criba de las variables. Un ejemplo típico sería el campo eléctrico en torno a una placa plana semi-infinita conductora.

Véase también

• Coordenadas ortogonales
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares
• Coordenadas parabólicas
• Coordenadas bipolares
• Coordenadas hiperbólicas
• Coordenadas elípticas
• Coordenadas cilíndricas
• Coordenadas esféricas