Conjetura de Pólya

En matemáticas, la conjetura de Pólya es una hipótesis que plantea que la mayoría de los números naturales (más del 50% de ellos) menores que cualquier número dado, tienen una cantidad impar de factores primos. La conjetura fue propuesta por el matemático húngaro George Pólya en 1919, y se demostró su falsedad en 1958. El tamaño del menor contraejemplo es usualmente usado para mostrar como una conjetura puede ser cierta para muchos números y, aun así, ser falsa.

Conjetura de Pólya

Enunciado

La conjetura de Pólya enuncia que:

Para cualquier n (> 1), si dividimos los números naturales menores o iguales a n (excluyendo el 0) por aquellos que tienen un número impar de factores primos, y si análogamente los dividimos por aquellos que tienen un número par de factores primos, entonces el primer conjunto tiene más elementos que el último, o bien, tienen igual cantidad de elementos.

De manera equivalente, se puede enunciar la conjetura, en términos de la función de Liouville:

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0}$

Para todo n. Aquí, ${\displaystyle \lambda (k)=(-1)^{\Omega (k)}}$ es positivo si el número de factores primos del entero k es par, y negativo si es impar. La función Omega cuenta el total de factores primos de un entero.

Refutación

La conjetura fue demostrada falsa por C. B. Haselgrove en 1958. Demostró que la conjetura tiene un contraejemplo, el que estimó alrededor de 1.845 × 10³⁶¹.

Un contraejemplo explícito, con n = 906.180.359 fue dado por R. S. Lehman en 1960; el contraejemplo más pequeño es n = 906.150.257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980^[1] ${\displaystyle L(906150257)=\sum _{k=1}^{906150257}\lambda (k)>0}$

La conjetura de Pólya falla para la mayoría de los valores de ${\displaystyle n}$ en la región de 906.150.257 ≤ n ≤ 906.488.079. en esta región, la función alcanza un valor máximo de 829 en n = 906.316.571 .