Conjetura de Artin sobre raíces primitivas

Este artículo trata sobre la conjetura sobre raíces primitivas. Para otros usos de este término, véase conjetura de Artin.

En teoría de números, la conjetura de Artin sobre raíces primitivas expresa que dado un número entero a que no es un cuadrado perfecto y tampoco −1, es una raíz primitiva módulo de infinitos primos p. La conjetura también describe una densidad asintótica de esos primos. Esta densidad conjetural es igual a la constante de Artin o a un múltiplo racional de la misma.

La conjetura fue formulada por Emil Artin a Helmut Hasse el 27 de septiembre de 1927, según el diario de este último. A pesar de los importantes progresos realizados, la conjetura sigue sin estar resuelta. De hecho, todavía no existe ni un solo valor de a para el que la conjetura de Artin haya sido demostrada.

Formulación

Sea a un entero que no es un cuadrado perfecto y tampoco −1. Escríbase a = a₀b² con a₀ libre de cuadrados. Denote por S(a) el conjunto de números primos p tales que a sea una raíz primitiva módulo p. Entonces

1. S(a) tiene una densidad asintótica positiva dentro del conjunto de primos. En particular, S(a) es infinita.
2. Bajo las condiciones de que a no sea una potencia perfecta y de que a₀ no sea congruente con 1 módulo 4, esta densidad es independiente de a y es igual a la constante de Artin que puede ser expresada como un producto infinito

   ${\displaystyle C_{\mathrm {Artin} }=\prod _{q\ \mathrm {primo} }\left(1-{\frac {1}{q(q-1)}}\right)=0.3739558136\ldots }$ (sucesión A005596 en OEIS).

Fórmulas de productos similares conjeturadas ^[1] existen para la densidad cuando a no satisface las condiciones anteriores. En esos casos, la densidad conjeturada es siempre un múltiplo racional de C_Artin.

Ejemplo

Por ejemplo, tómese a = 2. La conjetura afirma que el conjunto de los números primos p para los cuales 2 es una raíz primitiva tiene la densidad anteriormente citada C_Artin. El conjunto de tales primos es (sucesión A001122 en OEIS)

S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491,...}.

Este tiene 38 elementos más pequeños que 500 y hay 95 primos menores que 500. El radio (que tiende conjeturizadamente a C_Artin) es 38/95 = 2/5 = 0.4.

Intentos de demostración

En 1967, Hooley publicó una prueba condicional para la conjetura, asumiendo ciertos casos de la hipótesis generalizada de Riemann.^[2] En 1984, R. Gupta y M. Ram Murty mostraron incondicionalmente que la conjetura de Artin es cierta para infinitos a usando métodos de cribado.^[3] Roger Heath-Brown mejoró sus resultados y mostró incondicionalmente que hay, como mucho, dos números primos excepcionales a para los cuales la conjetura de Artin falla.^[4] Este resultado no es constructivo, en lo que se refiere a las excepciones. Por ejemplo, se sigue del teorema de Heath-Brown que uno de los primos 3, 5 o 7 es una raíz primitiva módulo p para infinitos p. Pero la demostración no proporciona una forma de calcular cual de ellos es.

Véase también

• Conjetura de Brown–Zassenhaus
• Número cíclico (teoría de grupos)

Referencias

1. Gerard P. Michon (15 de junio de 2006). «Artin's Constant». Numericana.
2. Hooley, Christopher (1967). «On Artin's conjecture». J. Reine Angew. Math. 225: 209-220.
3. Gupta, Rajiv; Murty, M. Ram (1984). «A remark on Artin's conjecture». Invent. Math. 78 (1): 127-130. doi:10.1007/BF01388719.
4. Heath-Brown, D. R. (1986). «Artin's conjecture for primitive roots». Quart. J. Math. Oxford Ser. 37 (1): 27-38. doi:10.1093/qmath/37.1.27.

Enlaces externos

• M. Ram Murty (1988). «Artin's conjecture for primitive roots» (DVI). The Mathematical Intelligencer 10 (4): 59-67. doi:10.1007/BF03023749.

• Datos: Q2319635