*-álgebra

En matemáticas, más específicamente en álgebra abstracta, un *-álgebra (o álgebra involutiva) es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos ${\displaystyle R}$ y ${\displaystyle A}$, donde ${\displaystyle R}$ es conmutativo y ${\displaystyle A}$ tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre ${\displaystyle R}$. Las álgebras involutivas generalizan la idea de la conjugación en un sistema numérico, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja, matrices sobre los números complejos y la conjugada traspuesta, y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y el Operador adjunto. Aun así, puede pasar que una álgebra no admite ninguna involución en absoluto.

Definición

*-Anillo

Un *-anillo es un anillo con una función ${\displaystyle ^{*}:A\rightarrow A}$, el cual es un antiautomorphism y una involución. De una forma más precisa, dados ${\displaystyle x,y\in A}$ se cumplen las condiciones^[1]

1. Linealidad: ${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$.
2. Contravariante: ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$.
3. Idempotencia: ${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$.

Esto también puede ser llamado como anillo involutivo o anillo con involución. Note que si el anillo tiene unidad multiplicativa, digamos ${\displaystyle 1_{A}}$, entonces ${\displaystyle 1_{A}=1_{A}^{*}}$.

Elementos tales que ${\displaystyle x^{*}=x}$ son llamados auto-adjuntos.^[2]

También, es posible definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos, con el requisito de ser *-invariante, por ejemplo si ${\displaystyle I}$ es un ideal y ${\displaystyle x\in I}$ entonces si ${\displaystyle x^{*}\in I}$ diremos que ${\displaystyle I}$ es un *-ideal.

*-Álgebra

Una *-álgebra ${\displaystyle A}$ es un *-anillo, con una involución * que es una álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo ${\displaystyle R}$ con involución ${\displaystyle ^{\prime }}$, tal que ${\displaystyle (rx)^{*}=r^{\prime }x^{*}}$ para todo ${\displaystyle r\in R}$ y ${\displaystyle x\in A}$. A menudo el anillo ${\displaystyle R}$ corresponde a los números complejos (con ${\displaystyle ^{\prime }}$ como conjugación compleja).

Sigue de los axiomas que * en ${\displaystyle A}$ es antilineal en ${\displaystyle R}$, es decir,

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}+{\overline {\mu }}y^{*}}$ para todo ${\displaystyle x,y\in A\,\,{\text{ y }}\,\,\lambda ,\mu \in R.}$

Un *-homomorfismo ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow B}$ es un homomorfismo de *-álgeras que es compatible con las involuciones de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ , es decir, ${\displaystyle \varphi (x^{*_{A}})=\varphi (x)^{*_{B}}}$ para todo ${\displaystyle x\in A}$ (donde ${\displaystyle ^{*_{A}}}$ y ${\displaystyle ^{*_{B}}}$ son las involuciones de ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ respectivamente).^[2]

Ejemplos

• Cualquier anillo conmutativo es un *-anillo con la involución trivial (${\displaystyle x^{*}=x}$ para todo ${\displaystyle x\in A}$).
• El ejemplo más familiar de un *-anillo y una *-álgebra sobre los reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$, es el cuerpo de los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dónde * es la conjugación compleja.
• Una extensión de cuerpos hecha al adjuntar una raíz cuadrada (como la unidad imaginaria ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$) es una *-álgebra sobre el cuerpo original, considerado como un *-anillo trivial (involucón trivial). La involución * corresponde al cambio de signo de aquella raíz cuadrada.
• Cuaterniones, números complejos hiperbólicos y números duales. Note que ninguno de estos ejemplos es una álgebra compleja.
• Los cuaterniones de Hurwitz forman un *-anillo conmutativo.
• El álgebra de matrices ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$, donde * corresponde a la transposición.
• El álgebra de matrices ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {C} )}$, donde * corresponde a la traspuesta conjugada.
• En el álgebra de los operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, la operación * corresponde al operador adjunto.

Álgebras sin involución

No toda álgebra admite una involución (no trivial). Considerando las matrices 2×2 sobre los números complejos ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {C} )}$,podemos tomar la siguiente subalgebra:

$${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}.}$$

Cualquier antiautomorfismo no trivial ${\displaystyle \varphi _{z}:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ necesariamente tiene la forma:

$${\displaystyle \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},}$$

para cualquier número complejo ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. Luego podemos ver que este antiautomorfismo falla en ser idempotente (esto es, ${\displaystyle \varphi _{z}\circ \varphi _{z}=\varphi _{z}}$):

$${\displaystyle \varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$

de este modo concluimos que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ no admite involución alguna.

Véase también

• C*-álgebra
• Álgebra de von Neumann
• Álgebra de operadores
• Conjugación (Álgebra)
• Construcción de Cayley-Dickson

Referencias

1. Weisstein, Eric W. (2015). «C-Star Algebra». Wolfram MathWorld.
2. Baez, John (2015). «Octonions». Department of Mathematics. University of California, Riverside. Archivado desde el original el 25 de marzo de 2015. Consultado el 27 de enero de 2015.

• Datos: Q2836000