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Grupo circular
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El grupo circular, representado por , es el grupo multiplicativo formado por los números complejos ubicados sobre la circunferencia unidad
del plano complejo, es decir, los números complejos cuyo valor absoluto es 1. En símbolos,
:\vert z\vert =1\}}
,
con la operación de grupo la multiplicación de números complejos. Puesto que el producto de números complejos es conmutativo, se trata de un grupo abeliano.
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Todo elemento de es de la forma
, con e la base del logaritmo natural, i la unidad imaginaria y θ un número real cualquiera. Esta caracterización de los elementos de
hace manifiesta la interpretación geométrica de su producto, pues
, lo que muestra que el producto de elementos de
equivale a una rotación respecto del origen del plano complejo.
El grupo circular es un subgrupo del grupo multiplicativo de los números complejos no nulos, . Un resultado interesante es que, de hecho, los grupos multiplicativos
y
son isomorfos.[1]
Una forma equivalente de definir al grupo circular es como el grupo multiplicativo de las matrices unitarias complejas de , representado por
.