Triángulo de Reuleaux
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El triángulo Reuleaux es el ejemplo más sencillo de los llamados polígonos de Reuleaux, denominados así por el científico e ingeniero que los desarrolló, Franz Reuleaux.[1] Estos polígonos tienen la particularidad de ser curvas de anchura constante, es decir, que la distancia entre dos rectas tangentes paralelas opuestas es la misma, independientemente de la dirección de esas rectas. Esto puede apreciarse en la figura adjunta, en la que siempre hay cuatro puntos de tangencia con el cuadrado, uno en cada lado.
Es un triángulo curvo con anchura constante, la curva de anchura constante más simple y mejor conocida aparte del círculo.[2] Se forma a partir de la intersección de tres discos circulares, cada uno de los cuales tiene su centro en el límite de los otros dos. La anchura constante significa que la separación de cada dos línea de sustentación paralelas es la misma, independientemente de su orientación. Como su anchura es constante, el triángulo de Reuleaux es una respuesta a la pregunta "Aparte de un círculo, ¿qué forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no pueda caerse por el agujero?".[3]
Los triángulos de Reuleaux también se han llamado triángulos esféricos, pero ese término se refiere más propiamente a triángulos en la superficie curva de una esfera. Deben su nombre a Franz Reuleaux,[1] Ingeniero alemán del siglo XIX, pionero en el estudio de las máquinas que traducen un tipo de movimiento en otro y que utilizó triángulos de Reuleaux en sus diseños.[4]
Sin embargo, estas formas eran conocidas antes de su época, por ejemplo por los diseñadores de ventanas góticas de las iglesias, por Leonardo da Vinci, que la utilizó para una proyección de mapa, y por Leonhard Euler en su estudio de las formas de anchura constante. Otras aplicaciones del triángulo de Reuleaux incluyen dar forma a púas de guitarra, tuercas de boca de incendios, lápices y brocas para taladrar perforado agujeros cuadrados, así como en diseño gráfico en las formas de algunos rótulos y logotipos corporativos.
Entre las formas de anchura constante con una anchura dada, el triángulo de Reuleaux tiene el área mínima y el ángulo más agudo (más pequeño) posible (120°) en sus esquinas. Según varias medidas numéricas, es la forma más alejada de la simétrica central. Proporciona la mayor forma de ancho constante evitando los puntos de un entramado entero, y está estrechamente relacionada con la forma del cuadrilátero que maximiza la relación entre el perímetro y el diámetro. Puede realizar una rotación completa dentro de un cuadrado tocando en todo momento los cuatro lados del cuadrado, y tiene el área más pequeña posible de las formas con esta propiedad. Sin embargo, aunque cubre la mayor parte del cuadrado en este proceso de rotación, no llega a cubrir una pequeña fracción del área del cuadrado, cerca de sus esquinas. Debido a esta propiedad de rotar dentro de un cuadrado, el triángulo de Reuleaux también se conoce a veces como rotor de Reuleaux.[5]
El triángulo de Reuleaux es el primero de una secuencia de polígonos de Reuleaux cuyos límites son curvas de anchura constante formadas a partir de polígonos regulares con un número impar de lados. Algunas de estas curvas se han utilizado como formas de las monedas. El triángulo de Reuleaux también se puede generalizar en tres dimensiones de múltiples maneras: el tetraedro de Reuleaux (la intersección de cuatro bolas cuyos centros se encuentran en un tetraedro regular) no tiene anchura constante, pero se puede modificar redondeando sus aristas para formar el tetraedro de Meissner, que sí la tiene. Alternativamente, la superficie de revolución del triángulo de Reuleaux también tiene anchura constante.
El área del triángulo de Reuleaux es , donde a es la anchura constante. El área de un círculo de igual diámetro es , que es mayor. Más aún, el teorema de Blaschke-Lebesgue establece que el triángulo de Reuleaux tiene menor superficie que cualquier otra figura de igual anchura constante.
Su perímetro es (véase la explicación en la sección siguiente).
El triángulo de Reuleaux puede generalizarse a otros polígonos regulares con un número impar de lados, como puede ser el caso de las monedas británicas de 20 peniques (basadas en un heptágono).