Teorema fundamental del álgebra
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El teorema fundamental del álgebra, también llamado teorema de d'Alembert o de d'Alembert–Gauss, establece que todo polinomio de grado mayor que cero tiene al menos una raíz.[1] El dominio de la variable es el conjunto de los números complejos, que es una extensión de los números reales.
Aunque este enunciado, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.
Equivalentemente (por definición), el teorema afirma que el cuerpo de los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado.
El teorema también se enuncia de la siguiente manera: todo polinomio no nulo, de una sola variable, grado n con coeficientes complejos tiene, contado con multiplicidad, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de las dos afirmaciones puede demostrarse mediante el uso de la división sucesiva de polinomios.
A pesar de su nombre, no existe una demostración puramente algebraica del teorema, ya que cualquier demostración debe utilizar alguna forma de la completitud analítica de los números reales, que es no un concepto algebraico.[2] Además, no es fundamental para el álgebra moderna; su nombre se le dio en una época en la que álgebra era sinónimo de teoría de ecuaciones.