Serie (matemática)
suma de los términos de una sucesión infinita / De Wikipedia, la enciclopedia encyclopedia
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En matemática, una serie es la generalización de la noción de suma, aplicada a los infinitos términos de una sucesión , lo que suele escribirse con el símbolo de sumatorio:
donde es el «término general» de la sucesión, que usualmente se expresa por medio de un regla, o se obtiene a partir de un algoritmo.
A diferencia de las sumas finitas, las series requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. El estudio de las series consiste en evaluar la suma de un número finito de términos sucesivos, y mediante un paso al límite, identificar el comportamiento de la serie a medida que crece indefinidamente.
Cuando este límite existe, lo cual no siempre ocurre, se dice que la serie es convergente. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la convergencia de las series, sin necesidad de calcular explícitamente el valor de la serie.
La noción de serie se puede generalizar a otros objetos matemáticos para los cuales la operación suma esté definida, tal como los números, los vectores, las matrices, las funciones... De particular interés en matemáticas son las series de potencias..
Durante mucho tiempo, la idea de que tal potencialmente infinito de la suma pudiera producir un resultado finito fue considerada paradójica. Esta paradoja se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII. La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga ilustra esta propiedad contraintuitiva de las sumas infinitas: Aquiles corre detrás de una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al principio de la carrera, la tortuga ha alcanzado una segunda posición; cuando alcanza esta segunda posición, la tortuga está en una tercera posición, y así sucesivamente. Zeno llegó a la conclusión de que Aquiles no podría nunca alcanzar a la tortuga, y por tanto ese movimiento no existe. Zenón dividió la carrera en infinitas subcarreras, cada una de las cuales requiere una cantidad finita de tiempo, de modo que el tiempo total para que Aquiles alcance a la tortuga viene dado por una serie. La resolución de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga.
En terminología moderna, cualquier secuencia infinita (ordenada) de términos (es decir, números, funciones, o cualquier cosa que se pueda sumar) define una serie, que es la operación de sumar los ai uno tras otro. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, una serie puede llamarse una serie infinita. Una serie de este tipo se representa (o denota) mediante una expresión como
o, utilizando el signo de suma,
La secuencia infinita de sumas que implica una serie no puede llevarse a cabo de forma efectiva (al menos en un tiempo finito). Sin embargo, si el conjunto al que pertenecen los términos y sus sumas finitas tiene una noción de límite, a veces es posible asignar un valor a una serie, llamado suma de la serie. Este valor es el límite a medida que n tiende a infinito (si el límite existe) de las sumas finitas de los n primeros términos de la serie, que se llaman las nésimas sumas parciales de la serie. Es decir,
Cuando existe este límite, se dice que la serie es convergente o sumable, o que la sucesión es sumable. En este caso, el límite se llama suma de la serie. En caso contrario, se dice que la serie es divergente.[1]
La notación : denota tanto la serie -es decir, el proceso implícito de sumar los términos uno tras otro indefinidamente- como, si la serie es convergente, la suma de la serie -el resultado del proceso-. Esta es una generalización de la convención similar de denotar por tanto la adición-el proceso de sumar-y su resultado-la suma de a y b.
Generalmente, los términos de una serie proceden de un anillo, a menudo el campo. de los números reales o el campo de los números complejos. En este caso, el conjunto de todas las series es a su vez un anillo (e incluso un álgebra asociativa), en el que la suma consiste en sumar las series término a término, y la multiplicación es el producto de Cauchy.