Problema bien definido

Un problema bien definido o bien propuesto (en el sentido de Hadamard) es un problema de Cauchy de valor inicial que tiene propiedades analíticas adecuadas y cuyas soluciones posibles tienen una estructura conveniente. en particular, esas condiciones suelen incluir:

1. La existencia de alguna solución.
2. La unicidad de la solución.
3. La solución depende de manera continua de las condiciones iniciales (topología).

Definición

Más formalmente un problema del tipo planteado en el espacio de Banach ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {d}{dt}}u(t)=Au(t),&\qquad u:\mathbb {R} \to {\mathcal {B}}\\u(0)=u_{0}\in {\mathcal {B}}&\qquad A\in {\mathcal {L}}({\mathcal {B}})\end{cases}}}$

está bien propuesto en el sentido de Hadamard si tiene las tres propiedades siguientes:^[1]

1. Unicidad: las soluciones estrictas están determinadas unívocamente por las condiciones iniciales.
2. Conjunto denso: el conjunto ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}}$ de todas las condiciones iniciales correspondientes a las soluciones posibles es denso en el espacio de Banach en el que se plantea problema.
3. Acotación local: Para algún intervalo finito ${\displaystyle \scriptstyle [0,t_{0}]}$ existe una constante ${\displaystyle \scriptstyle K=K(t_{0})}$ tal que cada solución estricta satisface la desigualdad:

${\displaystyle \|u(t)\|\leq K\|u_{0}\|\ {\mbox{para}}\ 0\leq t\leq t_{0}}$

Referencias

1. Ritchmyer, p. 336, 1978.

Bibliografía

• Hadamard, Jacques (1902). «Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique». Princeton University Bulletin. pp. 49-52.
• Parker, Sybil B., ed. (1989) [1974]. McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms (4th edición). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0070452709.
• Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.
• Tikhonov, A. N.; Arsenin, V. Y. (1977). Winston, ed. Solutions of Ill-Posed Problems. Nueva York. ISBN 0470991240.

• Datos: Q1455898