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el número más pequeño cuya suma de divisores excede a las de todos los números inferiores De Wikipedia, la enciclopedia libre
En matemáticas, un número altamente abundante es un número natural con la propiedad de que la suma de sus divisores (incluido él mismo) es mayor que la suma de los divisores de cualquier número natural menor.
Los números muy abundantes y varias clases similares de números fueron introducidos por primera vez por Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1943), y Leonidas Alaoglu y Paul Erdős (1944) realizó los primeros trabajos sobre el tema. Alaoglu y Erdős tabularon todos los números altamente abundantes hasta 104 y demostraron que la cantidad de números altamente abundantes menores que cualquier N es al menos proporcional a log2 N.
Formalmente, un número natural n se denomina altamente abundante si y solo si para todos los números naturales m < n,
donde σ denota la función suma de divisores. Los primeros números muy abundantes son
Por ejemplo, 5 no es altamente abundante porque σ(5)= 5+1= 6 es menor que σ(4)= 4 + 2 + 1= 7, mientras que 8 es altamente abundante porque σ(8)= 8 + 4 + 2 + 1= 15 es mayor que todos los valores anteriores de σ.
Los únicos números impares altamente abundantes son el 1 y el 3.[1]
Aunque los primeros ocho factoriales son altamente abundantes, no todos los factoriales son altamente abundantes. Por ejemplo,
pero hay un número más pequeño con mayor suma de divisores,
y por lo tanto, 9! no es altamente abundante.
Alaoglu y Erdős señalaron que todos los números superabundantes son altamente abundantes y preguntaron si hay un número infinito de números altamente abundantes que no son sobreabundantes. Esta pregunta fue respondida afirmativamente por Jean-Louis Nicolas (1969).
A pesar de la terminología, no todos los números altamente abundantes son números abundantes. En particular, ninguno de los primeros siete números altamente abundantes (1, 2, 3, 4, 6, 8 y 10) son abundantes. Junto con el 16, el noveno número altamente abundante, estos son los únicos números altamente abundantes que no son abundantes.
7200 es el número poderoso más grande que también es altamente abundante: todos los números más grandes y altamente abundantes tienen un factor primo que los divide solo una vez. Por lo tanto, 7200 es también el mayor número altamente abundante con una suma impar de divisores.[2]
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