Demostración
Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:
![{\displaystyle A=QUQ^{*}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ddb21e5e2a679e197e8ccca030bdb30ebda0d2d)
Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior.
Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:
(1)
(2)
- ...
(n-1)
Usando el hecho que A es normal:
![{\displaystyle A^{*}A=(QUQ^{*})^{*}(QUQ^{*})=QU^{*}(Q^{*}Q)_{(a)}UQ^{*}=QU^{*}UQ^{*}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4845a95ef6c4214ad76dee3d56cba9c7a0455fed)
Idénticamente.
![{\displaystyle (QUQ^{*})(QUQ^{*})^{*}=QUU^{*}Q^{*}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d4904d04de5fdd67224a156a2a5c8da845d9336)
Postmultiplicando por
y luego premultiplicando por
obtenemos: ![{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189437eb98a648bbf2d1dd062c377d02a86d7592)
Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}\\U^{*}U={\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a56c616bd7c7e41d499552f6bb4d9005584d5c1)
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}\\UU^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912d3ab96bfa8716ee22b19d4c7de4f3805cbcad)
Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.
![{\displaystyle (U^{*}U)_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot {\overline {a_{ji}}}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ij}\|^{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e5a080b359ed484eb3f7f506d79383cd753011)
![{\displaystyle (UU^{*})_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{{\overline {a_{ij}}}\cdot a_{ji}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ji}\|^{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9462eaa513ddd5e49df805a44ff3db6f378654dd)
Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)
- Caso i=1:
![{\displaystyle (U^{*}U)_{11}=(UU^{*})_{11}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4be74e404e694804591e740bfd7a6c4f6eaf89f)
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{j1}\|^{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbebca50d3442cf695515e7d530c57386860e207)
Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.
![{\displaystyle \|a_{11}\|^{2}+\sum _{j=2}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=\|a_{11}\|^{2}+\sum _{j=2}^{n}{\|a_{j1}\|^{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76c8ad6942fea69f902c5b623990940dae24c6f0)
Usando (1)
![{\displaystyle \sum _{j=2}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0a618e3c9205b6727c215b0c57cd6c1d40111f)
Por lo tanto,
![{\displaystyle \forall j=2,..,n}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7cb1edb9790926f48bb3ef72133d7fba94971fd)