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En estadística y teoría de la probabilidad, la matriz de covarianza es una matriz cuadrada que contiene la covarianza entre los elementos de un vector. Es la generalización natural a dimensiones superiores del concepto de varianza de una variable aleatoria escalar.
Si es un vector aleatorio dado por
tal que la -ésima entrada del vector es una variable aleatoria con varianza finita, entonces la matriz de covarianza es una matriz de dimensión cuya entrada es la covarianza entre la variable y , es decir
En particular, cuando , es decir, la diagonal de la matriz , obtenemos
En otras palabras, la matriz queda definida como
La anterior definición es equivalente a la igualdad matricial
Por lo tanto, se entiende que esto generaliza a mayores dimensiones el concepto de varianza de una variable aleatoria escalar .
En ocasiones, la matriz es llamada matriz de varianza covarianza y también suele denotarse como o .
Para y , las siguientes propiedades fundamentales se demuestran correctas:
La matriz de covarianza (aunque muy simple) es una herramienta muy útil en varios campos. A partir de ella se puede obtener una transformación lineal que puede de-correlacionar los datos o, desde otro punto de vista, encontrar una base óptima para representar los datos de forma óptima (véase cociente de Rayleigh para la prueba formal y otras propiedades de las matrices de covarianza). Esto se llama análisis del componente principal (PCA por sus siglas en inglés) en estadística , y transformada de Karhunen-Loève en procesamiento de la imagen.