Identidad de Parseval

En álgebra, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita ${\displaystyle q}$, entonces

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle =\sum _{i=1}^{q}\left|\langle v_{i},x\rangle \right|^{2}}$

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.

La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.

Demostración

Sea ${\displaystyle B=\{v_{1},v_{2},...,v_{q}\}}$ una base ortogonal de un espacio producto interno ${\displaystyle \mathrm {V_{\mathbb {K} }} }$ de cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, ${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {K} =\mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} {\bigr )}}$

Se demuestra que ${\displaystyle \forall x\in \mathrm {V_{\mathbb {K} }} }$:

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}v_{i}}$

entonces ${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{||v_{i}||^{2}}}}$ , con ${\displaystyle i=1,2,...,q}$

donde ${\displaystyle \alpha _{i}}$ son las coordenadas en base ${\displaystyle B}$ del vector ${\displaystyle x}$. Entonces

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{q}{\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{||v_{i}||^{2}}}v_{i}}$

Si la base ${\displaystyle B}$ es ortonormal, ${\displaystyle ||v_{i}||=1}$, entonces resulta:

${\displaystyle x\doteq \sum _{i=1}^{q}{\langle x,v_{i}\rangle }{}v_{i}}$

Para este caso, puede calcularse:

${\displaystyle {\begin{aligned}||x||^{2}&=\langle x,x\rangle \\&=\langle \sum _{i=1}^{q}\langle x,v_{i}\rangle v_{i},\sum _{i=1}^{q}\langle x,v_{i}\rangle v_{i}\rangle \\&=\langle \langle v_{1},x\rangle v_{1},\langle v_{1},x\rangle v_{1}\rangle +\langle \langle v_{2},x\rangle v_{2},\langle v_{2},x\rangle v_{2}\rangle +\cdots +\langle \langle v_{q},x\rangle v_{q},\langle v_{q},x\rangle v_{q}\rangle \end{aligned}}}$

Por dos de los axiomas del producto interno, ${\displaystyle (x,zy)={\bar {z}}(x,y)}$, con ${\displaystyle z\in \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle (x,y)={\overline {(y,x)}}}$

resulta ${\displaystyle (z'x,zy)={\overline {z'{\bar {z}}(y,x)}}=z{\bar {z'}}{\overline {(y,x)}}}$ con ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle z'\in \mathbb {K} }$ , entonces:

${\displaystyle ||x||^{2}={\Bigl (}{\overline {(v_{1},x)}}(v_{1},x)(v_{1},v_{1}){\Bigr )}+{\Bigl (}{\overline {(v_{2},x)}}(v_{2},x)(v_{2},v_{2}){\Bigr )}+...+{\Bigl (}{\overline {(v_{q},x)}}(v_{q},x)(v_{q},v_{q}){\Bigr )}}$

Como ${\displaystyle (v_{i},v_{i})=||v_{i}||^{2}}$, y la base ${\displaystyle B}$ es ortonormal ${\displaystyle \Rightarrow ||v_{i}||=1}$.

Además, usando la propiedad de los número complejos, ${\displaystyle z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}}$, con ${\displaystyle z\in \mathbb {K} }$ entonces:

${\displaystyle ||x||^{2}=|(v_{1},x)|^{2}+|(v_{2},x)|^{2}+\cdots +|(v_{q},x)|^{2}}$

quedando entonces la expresión

${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{q}\left|(v_{i},x)\right|^{2}}$

Relación con series de Fourier

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^{2}\mathrm {d} x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

Forma real (o trigonométrica):

${\displaystyle {\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\left|f(x)\right|^{2}\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}$

Siendo ${\displaystyle T}$ el periodo y ${\displaystyle c_{n}}$, ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle b_{n}}$ los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. (Aquí se utiliza la convención de que ${\textstyle a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\mathrm {d} x}$, en otro caso el coeficiente de ${\displaystyle a_{0}^{2}}$ será diferente).

Véase también

• Serie de Fourier
• Desigualdad de Bessel

Referencias

• Johnson & Riess; Numerical Analysis. ISBN 0-201-10392-3.; apuntes teóricos personales de Álgebra II - Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, Argentina

• Datos: Q944238