Ecuación en derivadas parciales
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En matemáticas, una ecuación en derivadas parciales (en ocasiones abreviada como EDP) es aquella ecuación diferencial cuyas incógnitas son funciones de diversas variables independientes, con la peculiaridad de que en dicha ecuación figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables independientes.[1] O bien una ecuación que involucre una función de varias variables independientes x, y, z, …, y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses d'Alembert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica.
A menudo se piensa en la función como una "incógnita" que hay que resolver, de forma similar a como se piensa en x como un número desconocido que hay que resolver en una ecuación algebraica como x2 - 3x + 2 = 0. Sin embargo, normalmente es imposible escribir fórmulas explícitas para las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales. Existe, en consecuencia, una gran cantidad de investigación matemática y científica moderna sobre métodos para aproximar numéricamente soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales utilizando ordenadores. Las ecuaciones diferenciales parciales ocupan también un amplio sector de la investigación matemática pura, en el que las cuestiones habituales versan, a grandes rasgos, sobre la identificación de características cualitativas generales de las soluciones de diversas ecuaciones diferenciales parciales, tales como existencia, unicidad, regularidad y estabilidad.[cita requerida] Entre las muchas cuestiones abiertas se encuentra la existencia y suavidad de soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes, nombrada como uno de los Millennium Prize Problems en 2000.
Las ecuaciones diferenciales parciales son omnipresentes en campos científicos orientados a las matemáticas, como la física y la ingeniería. Por ejemplo, son fundamentales en la comprensión científica moderna del sonido, el calor, la difusión, la electrostática, el electrodinámica, la termodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la relatividad general y la mecánica cuántica (ecuación de Schrödinger, ecuación de Pauli, etc.). También surgen de muchas consideraciones puramente matemáticas, como la geometría diferencial y el cálculo de variaciones; entre otras aplicaciones notables, son la herramienta fundamental en la demostración de la conjetura de Poincaré de la topología geométrica.
En parte debido a esta variedad de fuentes, existe un amplio espectro de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales parciales, y se han desarrollado métodos para tratar muchas de las ecuaciones individuales que surgen. Como tal, por lo general se reconoce que no existe una "teoría general" de las ecuaciones diferenciales parciales, con el conocimiento especializado siendo algo dividido entre varios subcampos esencialmente distintos.[2]
Las ecuaciones diferenciales ordinarias forman una subclase de ecuaciones diferenciales parciales, correspondientes a funciones de una sola variable. Las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas y la ecuación no local son, a partir de 2020, extensiones particularmente estudiadas de la noción de "EDP". Temas más clásicos, en los que todavía hay mucha investigación activa, incluyen elíptica y parabólica ecuaciones diferenciales parciales, mecánica de fluidos, ecuación de Boltzmann, y dispersiva ecuaciones diferenciales parciales.