Ecuación constitutiva

Una ecuación constitutiva es una relación entre las variables termodinámicas o mecánicas de un sistema físico: presión, volumen, tensión, deformación, temperatura, densidad, entropía, etcétera. Cada material o sustancia tiene una ecuación constitutiva específica, dicha relación solo depende de la organización molecular interna.

En mecánica de sólidos y en ingeniería estructural, las ecuaciones constitutivas son igualdades que relacionan el campo de tensiones con la deformación, usualmente dichas ecuaciones relacionan componentes de los tensores tensión, deformación y velocidad de deformación. Para un material elástico lineal la ecuación constitutiva se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke o más simplemente ley de Hooke.

También más generalmente en física se usa el término ecuación constitutiva para cualquier relación entre magnitudes tensoriales, que no es derivable de leyes de conservación u otro tipo de leyes universales y que son específicas del tipo de problema estudiado.

Ejemplos

Medios continuos y termodinámica

La primera ecuación constitutiva (ley constitutiva) fue desarrollada por Robert Hooke y actualmente se conoce como ley de Hooke. Esta ecuación trata el caso de elasticidad lineal. Siguiendo a este trabajo, se han usado frecuentemente los términos "relación tensión-deformación", "asunción constitutiva" o "ecuación de estado". Walter Noll desarrolló un importante trabajo sobre ecuaciones constitutivas, clarificando su clasificación y el papel de los requisitos de invariancia, restricciones y definiciones de términos como "material", "isótropo", "alotrópico", etc. La clase de ecuaciones constitutivas de la forma "derivada temporal de la tensión = f (gradiente de velocidad, tensión, densidad)" fue el objeto de la tesis doctoral de Walter Noll de 1954 bajo la dirección de Clifford Truesdell.^[1] Algunos ejemplos de ecuaciones constitutivas usables en el campo de los medios continuos y la termodinámica son:

• Sólido Elástico lineal (Ley de Hooke)^[2]

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon \quad [\Rightarrow F=-kx]\,}$ (caso unidimensional)

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k,l}C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$ (caso general)

• Sólido Elástico isótropo no lineal (Teorema de Rivlin-Ericksen)^[2]

${\displaystyle \sigma _{ij}=\alpha (\iota _{\varepsilon })\delta _{ij}+\beta _{ijkl}(\iota _{\varepsilon })\varepsilon _{kl}+\gamma _{ijkl}(\iota _{\varepsilon })\sum _{m}{\varepsilon _{km}\varepsilon _{ml}}\,}$

• Fluido newtoniano

${\displaystyle \tau _{\ \lVert }=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{\bot }\qquad \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} \right)}$

Electromagnetismo

• Ley de Ohm

${\displaystyle {V \over I}=R\,}$ (caso isótropo)

${\displaystyle J_{j}=\sigma _{ij}E_{i}\,}$ (caso general)

• Susceptibilidad eléctrica (Permitividad)

${\displaystyle P_{j}=\varepsilon _{0}\chi _{ij}E_{i}\,}$

${\displaystyle D_{j}=\varepsilon _{ij}E_{i}\,}$

• Susceptibilidad magnética (Permeabilidad (electromagnetismo))

${\displaystyle M_{j}=\chi _{m,ij}H_{i}\,}$

${\displaystyle B_{j}=\mu _{ij}H_{i}\,}$

Fenómenos de transporte

• Transferencia de calor

${\displaystyle q=c_{p}T\,}$

• Conductividad térmica

${\displaystyle p_{j}=-k_{ij}{\frac {\partial T}{\partial x_{i}}}\,}$

• Difusión (Ley de Fick)

${\displaystyle J_{j}=-D_{ij}{\frac {\partial C}{\partial x_{i}}}\,}$

Otros ejemplos

• Fricción

${\displaystyle F_{f}=F_{p}\mu _{f}\,}$

• Resistencia aerodinámica

${\displaystyle D={1 \over 2}C_{d}\rho Av^{2}\,}$

Véase también

• Ecuación de estado
• Principio de objetividad material

Referencias

1. See Truesdell's account in Truesdell The naturalization and apotheosis of Walter Noll. See also Noll's account and the classic treatise by both authors: Clifford Truesdell & Walter Noll - Stuart S. Antman (editor) (2004). «Preface» (Originally published as Volume III/3 of the famous Encyclopedia of Physics in 1965). The Non-linear Field Theories of Mechanics (3rd edición). Springer. p. xiii. ISBN 3-540-02779-3.
2. Marsden y Hughes, 1982

Bibliografía

• Marsden, Jerrold E; Hughes, Thomas JR (1983). Mathematical foundations of elasticity (en inglés). Dover Publications. Consultado el 28 de mayo de 2013.

• Datos: Q1937401