En teoría de la probabilidad, la distribución logarítmica es una distribución de probabilidad discreta derivada de la expansión en series de Maclaurin
![{\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151b41df7c7713cf74722bfa195b99380a126dce)
Datos rápidos Parámetros, Dominio ...
Distribución logarítmica |
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La función estádefindia solo para valores enteros. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad. Función de densidad de probabilidad |
El eje horizontal es el índice k. Función de distribución de probabilidad |
Parámetros |
![{\displaystyle p\in (0,1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139f72fc2fc3c385635992a8764c0eccd77a3913) |
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Dominio |
![{\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb35fee530f159c49680d3b6ee3cf1c5cb16e67) |
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Función de probabilidad (fp) |
![{\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe4755aa39f4fe7c419e8d99882b5c3a64816ed) |
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Función de distribución (cdf) |
![{\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51059236ecfe0c9996272ed1220773d8d085ad93) |
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Media |
![{\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223f741d49887bfb69e8d3e4985f8e0060befcd5) |
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Moda |
![{\displaystyle 1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
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Varianza |
![{\displaystyle -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333c6dd7298bb8df4ea8d5ae84e45ce633d81517) |
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Función generadora de momentos (mgf) |
![{\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da44e4d90c308e9ec2395818a3ca64c4a291683) |
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Función característica |
![{\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f27e662c7d85158227a296ea9d9d344c46dda8) |
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Cerrar
A partir de ella, se obtiene
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2409883844df6705a2f66303c493d7116b29d85)
Por lo tanto, los valores
![{\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f516a37604b70dfd0c891c11ea0939177e0b147d)
pueden interpretarse como los pesos de una distribución de probabilidad, que es, precisamente, la logarítmica (de parámetro p).
La función de probabilidad acumulada es
![{\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c363e4b101fa17b65252c27727e9429e07a1357)
donde B es la función beta incompleta.