En Teoría de Probabilidad y Estadística, la distribución exponencial es una distribución continua que se utiliza para modelar tiempos de espera para la ocurrencia de un cierto evento. Esta distribución al igual que la distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida de memoria. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma.
Datos rápidos Parámetros, Dominio ...
Distribución exponencial |
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Función de densidad de probabilidad |
Función de distribución de probabilidad |
Parámetros |
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Dominio |
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Función de densidad (pdf) |
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Función de distribución (cdf) |
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Media |
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Mediana |
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Moda |
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Varianza |
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Coeficiente de simetría |
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Curtosis |
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Entropía |
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Función generadora de momentos (mgf) |
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Función característica |
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Cerrar
Función de Distribución
Su función de distribución acumulada está dada por
para .
Parametrización Alternativa
La distribución exponencial en ocasiones se parametriza en términos del parámetro de escala en cuya caso, la función de densidad será
para .
Función de Supervivencia
De forma adicional esta distribución presenta una función adicional que es función Supervivencia (S), que representa el complemento de la Función de distribución.
Si es una variable aleatoria tal que entonces
La media de la variable aleatoria es
La varianza de la variable aleatoria es
El -ésimo momento de la variable aleatoria es
La función generadora de momentos de para está dada por
Cuantiles
La función cuantil (inversa de la función de distribución acumulada) para una variable aleatoria está dada por
por lo que los cuantiles son:
El primer cuartil es
La mediana es
Y el tercer cuartil está dado por
Valor en riesgo condicional (pérdida esperada)
El valor condicional en riesgo (CVaR) también conocido como déficit esperado o supercuantil para Exp(λ) se obtiene de la siguiente manera:[1]
Probabilidad de superación amortiguada (bPOE)
La probabilidad amortiguada de superación es uno menos el nivel de probabilidad en el que el CVaR es igual al umbral . Se obtiene de la siguiente manera:[1]
Distribución de máxima entropía
Entre todas las distribuciones de probabilidad continuas con soporte cerrada-abierta 0, ∞ y media μ, la distribución exponencial con λ = 1/μ tiene la mayor entropía diferencial. En otras palabras, es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variante aleatoria X que es mayor o igual que cero y para la que E[X] es fija.[2]
Distribución del mínimo de variables aleatorias exponenciales
Sean X1, ..., Xn variables aleatorias exponencialmente distribuidas con parámetros de tasa λ1, ..., λn. Entonces
también se distribuye exponencialmente, con el parámetro
Esto puede verse considerando la función de distribución acumulativa complementaria:
El índice de la variable que alcanza el mínimo se distribuye según la distribución categórica
Puede verse una prueba dejando que
. Entonces,
Nótese que
no es una distribución exponencial, si X1, …, Xn no todos tienen parámetro 0.[3]
Momentos conjuntos de estadísticos de orden exponencial i.i.d
Sean independent and identically distributed variables aleatorias exponenciales con parámetro de tasa λ.
Sean los correspondientes estadísticos de orden.
Para , el momento conjunto de los estadísticos de orden y viene dado por
Esto puede verse invocando la ley de la expectativa total y la propiedad sin memoria:
La primera ecuación se sigue de la ley de la expectativa total.
La segunda ecuación explota el hecho de que una vez que condicionamos en , debe seguirse que . La tercera ecuación se basa en la propiedad sin memoria para reemplazar con .
Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de una variable continua que transcurren entre dos sucesos, que se distribuyen según la distribución de Poisson.
- El tiempo transcurrido en un centro de llamadas hasta recibir la primera llamada del día se podría modelar como una exponencial.
- El intervalo de tiempo entre terremotos (de una determinada magnitud) sigue una distribución exponencial.
- Supongamos una máquina que produce hilo de alambre, la cantidad de metros de alambre hasta encontrar una falla en el alambre se podría modelar como una exponencial.
- En fiabilidad de sistemas, un dispositivo con tasa de fallo constante sigue una distribución exponencial.
En la hidrología, la distribución exponencial se emplea para analizar variables aleatorias extremos de variables como máximos mensuales y anuales de la precipitación diaria.[5]