Bucle (matemática)

En matemáticas, un bucle o lazo es una estructura algebraica consistente en un conjunto dotado de una ley de composición interna con elemento neutro y donde todo elemento tiene elementos simétricos a izquierda y a derecha. Un bucle es, pues, un magma con divisibilidad y elemento neutro.

En otras palabras, un bucle es un par ${\displaystyle (Q,\star )}$ dado por un conjunto ${\displaystyle Q}$ con un producto binario interno ${\displaystyle \star }$ que satisface las siguientes propiedades:

1. Existe ${\displaystyle e\in Q}$ tal que ${\displaystyle \ x\star e=e\star x=x}$ para todo ${\displaystyle x\in Q}$ (elemento neutro). Nótese que el elemento neutro es único y bilátero.
2. Para todo par de elementos ${\displaystyle a,b\in Q}$ existen únicos ${\displaystyle x,y\in Q}$ tales que ${\displaystyle x\star a=b=a\star y}$. Suelen denotarse mediante ${\displaystyle x=b\ /\ a}$ y ${\displaystyle y=a\setminus b}$.

En consecuencia, para cualquier elemento existen elementos inversos a izquierda y a derecha, y estos son únicos, aunque el inverso a izquierda no tiene por qué coincidir con el inverso a derecha. Un bucle que es asociativo es un grupo (y en este caso particular, los inversos a izquierda coinciden con los inversos a derecha).

Véase también

• Grupo, bucle con asociatividad.
• Cuasigrupo, bucle sin elemento neutro.

Bibliografía

• Bourbaki, N. (1970). Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francés). París: Hermann.
• Weisstein, Eric W. «Loop». En Wolfram Research, Inc., ed. MathWorld (en inglés). Archivado desde el original el 2 de diciembre de 2013. Consultado el 27 de noviembre de 2013.
• Albert, A. A. (1963). Studies in Modern Algebra (en inglés). Washington, DC: Mathematical Association of America.

• Datos: Q3836720