Álgebra de von Neumann
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En matemáticas, un álgebra de von Neumann o W*-álgebra es una *-álgebra de operadores acotados definidos en un espacio de Hilbert que es cerrado en la topología de operadores débil y contiene al operador identidad. Es un tipo especial de C*-álgebra.
Las álgebras de von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann, motivadas por su estudio de la teoría del operador único, la representación de grupos, la teoría ergódica y la mecánica cuántica. El teorema del doble conmutador de von Neumann muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra abstracta de simetrías.
Dos ejemplos básicos de álgebras de von Neumann son los siguientes:
- El anillo
de funciones medibles esencialmente acotadas de la recta real es un álgebra de von Neumann conmutativa, cuyos elementos actúan como operadores de multiplicación puntual en el espacio de Hilbert
de función cuadrado-integrables.
- El álgebra
de todos los operadores acotados en un espacio de Hilbert
es un álgebra de von Neumann, no conmutativa si el espacio de Hilbert tiene dimensión al menos
.
Las álgebras de Von Neumann fueron estudiadas por primera vez por von Neumann (1930) en 1929; quien junto a Francis Murray desarrolló la teoría básica, bajo el nombre original de "anillos de operadores", en una serie de artículos escritos en las décadas de 1930 y 1940 (Murray & von Neumann (1936, 1937, 1943); y von Neumann (1938, 1940, 1943, 1949)), reimpreso en las obras completas de von Neumann (1961).
Los textos introductorios de álgebras de von Neumann se dan en las notas en línea de Jones (2003) y Wassermann (1991) y los libros de Dixmier (1981),Schwartz (1967),Blackadar (2005) y Sakai (1971). El trabajo de tres volúmenes de Takesaki (1979) da una explicación enciclopédica de la teoría. El libro de Connes (1994) discute temas más avanzados.