Unuopo

En matematiko, unuopo, aŭ unuelementa aro, aŭ unuera aro estas aro kun ekzakte unu elemento.

Oni uzas la terminon unuopo ankaŭ en la senco «1-opo»; plej ofte la formala diferenco ne gravas, tamen se oni volas neprigi iun el la eblaj signifoj, oni diru orda/senorda unuopo aŭ (por la senorda signifo) unuelementa aro. Ĉi-sube temos pri la signifo senorda (pri unuelementaj aroj).

Ekzemploj

• La aro ${\displaystyle \{1\}}$ estas unuopo.
• La aro ${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$ estas unuopo: ĝia sola ano estas aro la ${\displaystyle \{1,2,3\}}$, kiu mem tamen ne estas unuopo.

Propraĵoj

Aro estas unuopo se kaj nur se ĝia kardinalo estas 1. En la arteoria konstruado de la naturaj nombroj, la nombro 1 estas difinita kiel la unuopo ${\displaystyle \{0\}}$.

En aksioma aroteorio, la ekzisto de unuopoj estas konsekvenco de la aksiomo de malplena aro kaj la aksiomo de parigo: la unua donas la malplenan aron ${\displaystyle \{\}}$, kaj la lasta, aplikita al la parigo de ${\displaystyle \{\}}$ kaj ${\displaystyle \{\}}$, donas la unuopon ${\displaystyle \{\{\}\}}$.

Se A estas aro kaj S estas unuopo, tiam ekzistas ekzakte unu funkcio de A al S, la funkcia ĵetanta ĉiun anon de A al la ano de S.

Aplikoj

En topologio, topologia spaco estas T1 spaco se kaj nur se ĉiu unuopo estas fermita aro.

Strukturoj konstruitaj sur unuopoj ofte servas kiel terminalaj objektoj aŭ nulaj objektoj de diversaj kategorioj:

• La frazo pli supre montras ke la unuopoj estas precize la terminalaj objektoj en la kategorio de aroj. Neniu la alia aro estas terminala objekto en ĉi tiu kategorio.
• Ĉiu unuopo povas esti konvertita en topologian spacon nur unumaniere (ĉiuj subaroj estas malfermitaj). Ĉi tiuj topologiaj spacoj surbaze de unuopoj estas terminalaj objektoj en la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinuaj funkcioj. Neniu alia spaco estas terminala objekto en ĉi tiu kategorio.
• Ĉiu unuopo povas esti konvertita en grupon unumaniere - la unika ano servas kiel la neŭtra elemento. Ĉi tiuj unuanaj grupoj estas komencaj objektoj (nulaj objektoj) en la kategorio de grupoj kaj grupaj homomorfioj. Neniu la alia grupo estas terminala objekto en ĉi tiu kategorio.

Difino per nadlaj funkcioj

Estu S klaso difinita per bule-rezulta funkcio ${\displaystyle b:X\to \{0,1\}}$. Tiam S estas unuopo se kaj nur se b estas egala al iu funkcio ${\displaystyle c:X\to \{0,1\}}$, kun c(x) = (x = y) por iu ${\displaystyle y\in X}$.

Vidu ankaŭ

• Malplena aro
• Duera aro
• Klaso (aroteorio)