From Wikipedia, the free encyclopedia
En matematiko, la matrico de Hesse estas kvadrata matrico de duaj partaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio. Por reelo-valora funkcio
se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de f ekzistas, la matrico de Hesse de f estas matrico
kie x = (x1, x2, ..., xn). Tio estas,
La miksitaj derivaĵoj de f estas la elementoj ne sur la ĉefa diagonalo en la matrico. Ofte, la ordo de diferencialado ne gravas. Ekzemple:
Ĉi tio povas ankaŭ esti skribita kiel:
Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de f estas kontinuaj en regiono D, do la matrico de Hesse de f estas simetria matrico en D. (Vidu en simetrio de duaj derivaĵoj.)
Se la gradiento de f (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto x, tiam f havas kritan punkton je x. La determinanto de la matrico de Hesse je x estas tiam nomata kiel la diskriminanto. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam x estas degenera krita punkto de f. Alie ĝi estas ne degenera.
Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera krita punkto x. Se la matrico de Hesse estas pozitive difinita matrico je x, tiam f atingas lokan minimumon je x. Se la matrico de Hesse estas negative difinita je x, tiam f atingas lokan maksimumon je x. Se la matrico de Hesse havas ambaŭ pozitivan kaj negativan ejgenojn tiam x estas sela punkto por f (ĉi tio estas vera eĉ se x estas degenera).
Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hesse la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de morsa teorio.
La dua derivaĵa provo por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. Por unu variablo, la matrico de Hesse enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam x estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam x estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton.
Por funkcio de du variabloj oni povas ne zorgi pri trovo de la ejgenoj, sed simple uzi la diskriminanton, ĉar por 2x2-matrico la determinanto ĉiam estas produto de la ejgenoj. Se ĝi estas pozitiva, do la ejgenoj estas aŭ ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Tiam oni povas rigardi la signon de iu dua derivaĵo kaj konkludi, ĉu la punkto estas maksimumo aŭ minimumo. Se ĝi estas negativa, do la du ejgenoj havas malsamajn signojn, kaj sekve la punkto estas selo. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.
Se f estas vektoro-valora, kio estas
tiam la tabelo de duaj partaj derivaĵoj estas ne matrico sed tensoro de rango 3.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.