Leibniz-a integrala regulo

La Leibniz-a integrala regulo, aŭ formulo de Leibniz por diferencialado de difinita integralo, estas

${\displaystyle {d \over dt}\int _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\partial f(t,x) \over \partial t}\,dx+f(t,b(t)){db(t) \over dt}-f(t,a(t)){da(t) \over dt}.}$

(rimarku, ke la randoj de integralado estas funkcioj de t).

Pruvo de la Leibniz-a integrala regulo

Estu

${\displaystyle G=G(t,a,b)=\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx}$

kie la randoj de integralado A = A(t) kaj b = b(t) estas funkcioj de t. La tuteca derivaĵo de G kun respekto al t, en terminoj de partaj derivaĵoj, estas

${\displaystyle {d \over dt}G={\partial G \over \partial t}+{\partial G \over \partial a}{da \over dt}+{\partial G \over \partial b}{db \over dt}.\qquad \qquad (1)}$

Tiam

${\displaystyle {\partial G \over \partial t}=\int _{a}^{b}{\partial f \over \partial t}\,dx,\qquad \qquad (2)}$

ĉar integralo estas kontinua sumado, kaj derivado estas lineara operacio,

${\displaystyle {\partial G \over \partial b}={\partial \over \partial b}\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx=f(t,b)\qquad \qquad (3)}$

pro la fundamenta teoremo de kalkulo, kaj

${\displaystyle {\partial G \over \partial a}={\partial \over \partial a}\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx=-f(t,a)\qquad \qquad (4)}$

denove pro la fundamenta teoremo de kalkulo. Anstataŭigante ekvaciojn (2), (3), kaj (4) en ekvacion (1) oni ricevas la formulon.