Lagranĝa mekaniko

Lagranĝa mekaniko estas reesprimo de klasika mekaniko fare de Joseph-Louis Lagrange. Ĝi esprimas la staton de klasika sistemo kiel iu aro de nombroj (ĝeneraligitaj koordinatoj), kiuj evoluas tra tempo laŭ iuj leĝoj. La leĝoj estas kondiĉoj minimumigi ian kvanton, la lagranĝianon ${\displaystyle L}$, kiu estas funkcio de la koordinatoj kaj la rapidoj (temp-derivoj de la koordinatoj). Do, la lagranĝiano determinas la evoluon de la sistemo.

${\displaystyle L=T-V\,,}$

kie T estas la tuta kineta energio (kiu dependas de la movokvantoj), kaj V estas la tuta potenciala energio (kiu dependas de la koordinatoj) de la sistemo.

Lagranĝa mekaniko provizas metodon aŭtomate certigi konserviĝon de energio kaj movokvanto (tamen lagranĝa mekaniko povas priskribi ankaŭ sistemon sen konserviĝo de energio aŭ movokvanto). Lagranĝa mekaniko kongruas kun speciala relativeco en la senco, ke ĝi povas esprimi relativecajn teoriojn en tia maniero ke la relativeco estas evidenta (kontraste kun hamiltona mekaniko).

Difino

Laŭ lagranĝa mekaniko, klasika fizika sistemo konsistas el:

• Reela kontinue derivebla sternaĵo ${\displaystyle M}$, la spacon de agordoj (france espace de configuration). La dimensio de ${\displaystyle M}$ estas la nombro de gradoj de libereco de la sistemo. Punkto ${\displaystyle x\in M}$ estas (ĝeneraligita) koordinato; punkto ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ estas (ĝeneraligita) rapido.
• Komenca koordinato ${\displaystyle x_{0}\in M}$ kaj fina koordinato ${\displaystyle x_{1}\in M}$.
• Tempa intervalo ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$;
• Kontinue derivebla funkcio ${\displaystyle L\colon [t_{0},t_{1}]\times TM\to \mathbb {R} }$, la lagranĝiano. Ĝi estas funkcio (ne funkcionalo) de tempo, koordinatoj, kaj rapidoj. Sistemo estas aŭtonoma s.n.s. ĝia lagranĝiano ne (rekte) dependas de tempo, k.e., ${\displaystyle \partial _{t}L(t,x,v)=0}$ por ĉiu ${\displaystyle t}$.

Principo de senmova ago

La spaco ${\displaystyle \Gamma (x_{0},x_{1})}$ estas la aro de kontinue deriveblaj kurboj ${\displaystyle \gamma \colon [t_{0},t_{1}]\to M}$ tia ke ${\displaystyle \gamma (t_{0})=x_{0}}$ kaj ${\displaystyle \gamma (t_{1})=x_{1}}$. Donu al ĝi la topologion generita de aroj

${\displaystyle \gamma '\in U_{V,\phi ,\epsilon ,\gamma }}$ s.n.s. ${\displaystyle \phi \colon V\subset M\to \mathbb {R} ^{n}}$ estas membro de la atlaso de ${\displaystyle M}$, kaj ${\displaystyle \gamma '}$ koincidas kun ${\displaystyle \gamma }$ ekster ${\displaystyle V}$, kaj ${\displaystyle \phi \circ \gamma '=\phi \circ \gamma +h}$ kie ${\displaystyle h(t)<\epsilon }$ kaj ${\displaystyle {\dot {h}}(t)<\epsilon }$ por ĉiu ${\displaystyle t}$.

Unu-parametra familio de kurboj estas kontinue derivebla funkcio ${\displaystyle [0,1]\to \Gamma (x_{0},x_{1})}$. Funkcionalo ${\displaystyle F\colon \Gamma (x_{0},x_{1})\to \mathbb {R} }$ sur ${\displaystyle \Gamma (x_{0},x_{1})}$ estas senmova ĉe ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (x_{0},x_{1})}$ s.n.s. por ĉiu unu-parametra familio de kurboj ${\displaystyle \gamma _{s}}$ (${\displaystyle 0\leq s\leq 1}$) tia ke ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$, do ${\displaystyle F[\gamma _{\epsilon }]-F[\gamma ]=O(\epsilon ^{2})}$.

La ago estas la funkcionalo ${\displaystyle S\colon \Gamma (x_{0},x_{1})\to \mathbb {R} }$ difinita kiel

${\displaystyle S[q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,q(t),{\dot {q}}(t))\;\operatorname {d} \!t}$.

La lagranĝiano determinas la evoluon de la sistemo laŭ la principo de senmova ago, kiu asertas ke:

La ago estas senmova ĉe la trajektorio de la sistemo.

Kelkaj aŭtoroj anstataŭe uzas la nomon principo de minimuma ago; tiu estas iom misnomita, ĉar senmoveco estas pli ĝenerala ol minimumeco. (Ekzemple, la trajektorio povas anstataŭe maksimumigi la agon aŭ simple esti sela punkto.)

Ekvacio de Euler–Lagrange

Oni povas pruvi ke la senmoveco de la ago estas ekvivalenta al la jena kondiĉo, la ekvacio de Euler–Lagrange:

Konsideru la partajn derivaĵojn ${\displaystyle \partial L(t,x,v)/\partial x_{i}}$ kaj ${\displaystyle \partial L(t,x,v)/\partial v_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,\dim M}$, kie ${\displaystyle x\in M}$ kaj ${\displaystyle v\in T_{x}M}$. Do la trajektorio ${\displaystyle q(t)}$ (kontinue derivebla, ${\displaystyle q(t_{0})=x_{0}}$, ${\displaystyle q(t_{1})=x_{1}}$) verigas:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}L(t,q(t),{\dot {q}}(t))={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}L(t,q(t),{\dot {q}}(t))}$ por ĉiu ${\displaystyle 1\leq i\leq \dim M}$.

Tial la ekvacio de Euler–Lagrange estas ekvacio de movado de la sistemo. La ekvacio de Euler–Lagrange estas dua-orda diferenciala ekvacio. Do la komenca valoro de la problemo konsistas el la nula- kaj unua-ordaj derivaĵoj de la trajektorio, ${\displaystyle (q(t_{0}),{\dot {q}}(t_{0}))\in TM}$. Tial, ĝenerale, stato de la sistemo estas punkto ${\displaystyle (x,v)\in TM}$, konsistanta el koordinato kaj rapido.

La (ĝeneraligita) movokvanto ${\displaystyle p\colon M\to T^{*}M}$ (kovektora kampo) estas difinita kiel

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}}$.

La (ĝeneraligita) forto ${\displaystyle F\colon M\to T^{*}M}$ (kovektora kampo) estas difinita kiel

${\displaystyle F_{i}={\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}}$.

Do la ekvacio de Euler–Lagrange simpliĝas al

${\displaystyle {\dot {p}}=F}$,

kiu similas la duan leĝon de Newton.

Ekzemplo: Partiklo sur sternaĵo

Kiel ekzemplo, konsideru partiklon limigitan al la interno de iu (pseŭdo-) rimana sternaĵo ${\displaystyle (M,g)}$ (la spactempo). La spaco de agordoj estas ${\displaystyle M}$ per difino. (Se ${\displaystyle n}$ distingeblaj partikloj ekzistas anstataŭe, la spaco de agordoj estus ${\displaystyle M^{\times n}=M\times M\times \dotsb \cdot \times M}$; se la partikloj estas ne distingeblaj, do ni havas ${\displaystyle M^{n}/\sim }$, kie ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\sim (x_{i(1)},x_{i(2)},\dots )}$ por iu ajn permutaĵo ${\displaystyle i}$.)

Supozu ke la partiklo estas libera, k.e., ne sentas iajn eksterajn fortojn. Do unu ebla lagranĝiano estas simple la kineta energio:

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}g(x)_{ij}m{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}$

kie ${\displaystyle m}$ estas la maso de la partiklo. La movokvantoj estas

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}}=mg_{ij}{\dot {x}}^{j}}$;

iliaj derivaĵoj laŭ tempo estas

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}/m=g_{ij,k}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\ddot {x}}_{i}=(\Gamma _{ijk}+g_{jk,i}/2){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\ddot {x}}_{i}}$

kie ${\displaystyle \Gamma _{ijk}=(g_{ij,k}+g_{ik,j}-g_{jk,i})/2}$ estas la simbolo de Christoffel. La ĝeneraligitaj fortoj estas

${\displaystyle F_{i}/m=m^{-1}{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}=g_{jk,i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}/2}$.

Do la ekvacioj de Euler–Lagrange ${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=F_{i}}$ fariĝas

${\displaystyle {\ddot {x}}_{i}+\Gamma _{ijk}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}=0}$,

aŭ (uzante la alian simbolon de Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=g^{im}\Gamma _{mjk}}$)

${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}+\Gamma _{jk}^{i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}=0}$.

Tiu ĉi estas la fama ekvacio de geodeziiko (angle geodesic, france géodesique, germane Geodäte): la trajektorio estas geodeziiko, la plej mallonga (aŭ, pli ĝenerale, ekstrema aŭ senmova) kurbo inter du punktoj. Tial alternativa ago por la libera klasika partiklo estas la longo de la trajektorio de la partiklo, kaj la respondanta lagranĝiano estas la rapido de kresko de la trajektorio:

${\displaystyle L'=m{\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}}$.

La respondantaj movokvantoj estas

${\displaystyle p_{i}=m{\dot {x}}_{i}/{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}}$;

iliaj derivaĵoj estas

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}/m={\frac {(\Gamma _{ijk}+g_{jk,i}/2){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+{\ddot {x}}_{i}}{\lVert {\dot {x}}\rVert }}-{\dot {x}}_{i}{\frac {\Gamma _{jkl}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}{\dot {x}}^{l}+{\ddot {x}}\cdot {\dot {x}}}{\lVert {\dot {x}}\rVert ^{3}}}}$;

kaj la ĝeneraligitaj fortoj estas

${\displaystyle F_{i}/m={\frac {g_{jk,i}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}}{2\lVert {\dot {x}}\rVert }}}$.

Do la ekvacioj de Euler–Lagrange fariĝas

${\displaystyle 0=\left(\delta _{i}^{j}-{\frac {{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}^{j}}{{\dot {x}}^{2}}}\right)(\Gamma _{jkl}{\dot {x}}^{k}{\dot {x}}^{l}+{\ddot {x}}_{j}).}$

Ĝenerale ${\displaystyle \delta _{i}^{j}\neq {\dot {x}}_{i}{\dot {x}}^{j}/{\dot {x}}^{2}}$. Tial ni ree havas la ekvacion de geodeziiko. Ni vidu ke pluraj malsamaj lagranĝianoj povas priskribi la saman dinamikon.

Konservatoj kaj Teoremo de Noether

Simetrio de lagranĝa sistemo estas kontinue derivebla mapo ${\displaystyle \mathbb {R} \times \Gamma (t_{0},t_{1})\to \Gamma (t_{0},t_{1})}$, ${\displaystyle (s,q)\mapsto q^{s}}$, tia ke:

${\displaystyle \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!s}}L(t,q^{s},{\dot {q}}^{s})\right|_{s=0}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}\ell (t,q,{\dot {q}})}$

por iu ${\displaystyle \ell \colon \mathbb {R} \times TM\to \mathbb {R} }$.

La (unua) teoremo de Noether (far germana matematikisto Emmy Noether) asertas ke:

Se aŭtonoma sistemo havas simetrion ${\displaystyle q\mapsto q_{s}}$, do ĝi konservas iun kvanton ${\displaystyle I}$ difinitan loke kiel

${\displaystyle I=\sum _{i}p_{i}\partial _{s}q_{i}^{s}|_{s=0}-\ell }$.

Skizo de pruvo. Ni neglektu indicon ${\displaystyle i}$ pro klareco. Do ${\displaystyle I=p\partial _{s}q-\ell }$, kaj

${\displaystyle {\dot {I}}={\dot {p}}\partial _{s}q^{s}+p\partial _{s}{\dot {q}}^{s}-{\dot {\ell }}}$

${\displaystyle =\partial _{x}L\partial _{s}q^{s}+\partial _{v}L\partial _{s}{\dot {q}}^{s}-\partial _{s}L}$

${\displaystyle =\partial _{s}L-\partial _{s}L=0}$.

Alivorte, la teoremo de Noether rilatas simetrion al konservato.

La plej grava ekzemplo de konservato estas la energio. Konsideru aŭtonoman sistemon (la lagranĝiano ne dependas de tempo rekte). Do ĝi havas la simetrion :${\displaystyle q(t)\mapsto q^{s}(t)=q(t+s)}$, kiu verigas

${\displaystyle \partial _{s}L={\dot {L}}}$.

(K.e., ${\displaystyle \ell =L}$ tie ĉi.) Do la kvanto, la hamiltoniano,

${\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L}$

konserviĝas:

${\displaystyle {\dot {H}}=0}$.

La estas la tuta energio de aŭtonoma sistemo. Se la sistemo ne estas aŭtonoma, do

${\displaystyle {\dot {H}}=-\partial _{t}L}$

anstataŭe.

Rilato inter lagranĝa kaj hamiltona mekanikoj

Ĉe ${\displaystyle x\in M}$ kaj ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, konsideru la bildigon ${\displaystyle T_{x}M\to T_{x}^{*}M}$ difinitan kiel

${\displaystyle v\mapsto p={\frac {\partial L}{\partial v}}(t,x,v)}$.

Pli ĝenerale, oni havas faskan mapon ${\displaystyle \lambda \colon TM\to T^{*}M}$. Lagranĝa sistemo estas regula s.n.s. ${\displaystyle f}$ formas difeomorfion inter ${\displaystyle TM}$ kaj ${\displaystyle \lambda (TM)}$ — alivorte, s.n.s. oni povas unike determini la rapidojn el la movokvantoj. Lagranĝa sistemo estas forte regula s.n.s. ${\displaystyle \lambda }$ formas difeomorfion inter ${\displaystyle TM}$ kaj ${\displaystyle T^{*}M}$ (la lagranĝiano provizas naturan izomorfion inter la tanĝa kaj la kotanĝa faskoj). Klare, forte regula lagranĝiano estas ĉiam regula, sed la inversa implico ne estas vera ĝenerale.

Ekzemploj. Lagranĝiano ${\displaystyle L(t,x,v)=L(t,x)}$ ne estas regula, ĉar la movokvantoj nulas idente. Lagranĝiano ${\displaystyle L=v^{2}/2}$ estas forte regula, ĉar ${\displaystyle p=v}$. Lagranĝiano ${\displaystyle L=\exp(v)}$ estas regula sed ne forte regula, ĉar ${\displaystyle p=\exp(v)}$: solaj pozitivaj movokvantoj havas malbildojn; la bildigo ${\displaystyle \lambda \colon TM\to T^{*}M}$ estas enjekcia sed ne surjekcia.

Ni povas reformuli regulan lagranĝian sistemon kiel hamiltona sistemo jene. Difinu la fazan spacon ${\displaystyle X=\lambda (M)\subset T^{*}M}$. La faza spaco havas duoblan da dimensioj de la spaco de agordoj ${\displaystyle M}$. Kiel (subspaco de) la kotanĝa fasko ${\displaystyle T^{*}M}$, la faza spaco ${\displaystyle X}$ portas naturan simplektan strukturon ${\displaystyle \omega }$ jene. Konsideru la projekcion ${\displaystyle \pi \colon T^{*}M\to M}$ kaj ĝian derivaĵon ${\displaystyle \operatorname {d} \!\pi \colon TT^{*}M\to TM}$. Do oni povas difini la unu-forman kampon ${\displaystyle \alpha }$ sur ${\displaystyle T^{*}M}$ kiel

${\displaystyle \alpha |_{p,q}(\xi )=p(\operatorname {d} \!\pi (\xi ))}$ por ${\displaystyle \xi \in T_{(p,q)}T^{*}M}$, ${\displaystyle p\in T_{q}^{*}M}$, kaj ${\displaystyle q\in M}$.

Laŭ loka koordinatsistemo,

${\displaystyle \alpha =\sum _{i}p^{i}\operatorname {d} q_{i}}$.

Do oni difinu

${\displaystyle \omega =\operatorname {d} \!\alpha =\sum _{i}\operatorname {d} p^{i}\wedge \operatorname {d} q_{i}}$.

Evidente ${\displaystyle \omega }$ estas fermita (eĉ ekzakta) kaj ne degeneras.

Nune la hamiltonianon ${\displaystyle H=p{\dot {q}}-L}$, kiu estas funkcio ${\displaystyle H\colon \mathbb {R} \times TM\to \mathbb {R} }$, vidiĝas kiel funkcio ${\displaystyle H\colon \mathbb {R} \times X\to \mathbb {R} }$ (uzante la izomorfion ${\displaystyle TM\cong X}$). Do ${\displaystyle (X,H)}$ formas hamiltona sistemo, kaj la ekvacioj de Hamilton povas esti pruvitaj el la ekvacioj de Euler–Lagrange.

Skizo de pruvo.

Vidante ${\displaystyle X\cong TM}$ kaj uzante koordinatoj ${\displaystyle (q,{\dot {q}})}$,

${\displaystyle \operatorname {d} \!H=\operatorname {d} \!(p{\dot {q}}-L)}$

${\displaystyle ={\dot {q}}\operatorname {d} \!p+p\operatorname {d} \!{\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}\operatorname {d} \!q-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\operatorname {d} \!{\dot {q}}}$

${\displaystyle ={\dot {q}}\operatorname {d} \!p+p\operatorname {d} \!{\dot {q}}-{\dot {p}}\operatorname {d} \!q-p\operatorname {d} \!{\dot {q}}}$

${\displaystyle ={\dot {q}}\operatorname {d} \!p-{\dot {p}}\operatorname {d} \!q}$.

Vidante ${\displaystyle X}$ kiel simplekta sternaĵo kaj uzante koordinatoj ${\displaystyle (q,p)}$,

${\displaystyle \operatorname {d} H={\frac {\partial H}{\partial q}}\operatorname {d} q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\operatorname {d} p}$.

∴ ${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}}$ kaj ${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}}$. ∎

Referencoj

• LD Landau, EM Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press.
• KC Gupta, Classical mechanics of particles and rigid bodies, Wiley, 1988.
• H Goldstein, CP Poole, JL Safko, Classical Mechanics. Addison-Wesley.
• C Lanczos, The variational principles of mechanics. Dover, 1986, ISBN 0486650677.
• F Kuypers, Klassische Mechanik Wiley-Vch, 2008, ISBN 3527407219.
• ВИ Арнольд, Математические методы классической механики. 3a eld. Moskvo: Наука, 1989.
  • Angla traduko VI Arnold, Mathematical methods of mathematical physics, 2a eld. Novjorko: Springer-Verlag, 1989. ISBN 0387968903